Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Формулы, которые появились в их работах, были простыми, но зачастую с беспорядочными деталями. Вы можете решить любое кубическое уравнение, используя арифметические операции плюс квадратные корни плюс корни кубические. Вы можете решить любое уравнение четвертой степени, используя арифметические операции, квадратные и кубические корни, корни четвертой степени, – хотя последние могут быть сведены к двум последовательно взятым квадратным корням. Создавалось впечатление, что эту закономерность можно продолжать, так что вы сможете решить любое уравнение пятой степени, используя арифметические операции, квадратные и кубические корни, корни четвертой и пятой степеней. И так далее – для уравнений любой степени. Да, понятно, что все эти формулы чрезвычайно сложны, и их поиск – еще более трудное дело, но практически ни у кого не возникало сомнений, что они существуют.

Шли века, но почему-то ни одна из этих формул не была открыта. И кое-кто из маститых математиков решил присмотреться повнимательнее к данной области, чтобы понять, что действительно происходит за ее кулисами, унифицировать известные методы и упростить их так, чтобы стало понятно, почему они работают. Тогда, как они полагали, это будет просто вопрос применения одних и тех же общих принципов, и уравнение пятой степени раскроет свои тайны.

Самую успешную и систематичную работу в этом направлении проделал Лагранж. Он переосмыслил классические формулы с точки зрения решений, которые собирался найти. Он утверждал, что важнее всего понять, как ведут себя в этих решениях определенные алгебраические выражения, когда вы ищете корни. Они будут перегруппированы, перестроены, примут другой вид. Он знал, что любое полностью симметричное выражение, зависящее от корней, которое остается неизменным, как бы ни менялся порядок корней при решении, может быть выражено через коэффициенты уравнения, становясь таким образом известной величиной. Более интересны были выражения, получавшие несколько разных значений, когда корни решения переставлялись. Казалось, здесь и зарыт ключ к общему принципу решения уравнений.