Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса

Эмми Нётер появилась на свет в еврейской семье математика Макса Нётера и Иды Кауфманн. В 1900 г. она получила право преподавать языки, но решила связать свое будущее с математикой. К тому времени в немецких университетах уже позволяли женщинам обучаться на неофициальной основе с позволения их профессора, чем Нётер и пользовалась с 1900 по 1902 г. в Университете Эрлангена. Затем она перебралась в Гёттинген, чтобы прослушать курсы лекций Гильберта, Клейна, Минковского в 1903 и 1904 гг.

Она написала докторскую диссертацию под руководством Пауля Гордана в 1907 г. Диссертация была посвящена вычислениям очень сложной системы инвариантов. Для мужчины следующим шагом стало бы получение степени хабилитированного доктора, но это было невозможно для женщины. Она оставалась дома в Эрлангене, ухаживая за больным отцом, однако продолжала свои исследования и быстро заслужила репутацию серьезного ученого.

В 1915 г. ее снова пригласили в Гёттинген Клейн и Гильберт, приложившие все силы, чтобы получить для нее разрешение работать на факультете. Им удалось добиться своего в 1919 г. Вскоре после своего прибытия она доказала фундаментальную теорему, известную как теорема Нётер, о связывающей симметрии физической системы с законом сохранения. Ряд ее работ Эйнштейн использовал для формулировки некоторых частей своей общей теории относительности. В 1921 г. она написала статью по теории колец и идеалов, изложив ее с точки зрения абстрактной аксиоматики. Ее работа заметно повлияла на классический труд Бартеля Леендерта ван дер Вардена «Современная алгебра». Когда Германия оказалась под властью нацистов, Нётер уволили из-за еврейского происхождения, и она эмигрировала в США. Ван дер Варден говорил, что для нее взаимоотношения между числами, функциями и преобразованиями абсолютно прозрачны и легко поддаются обобщению и обработке, подчиняясь общей концепции.

Для поля определены такие действия, как сложение, вычитание, умножение и деление, и они удовлетворяют всем обычным законам алгебры, в том числе и коммутативному для умножения. Если последний не работает, мы имеем дело с алгебраическим телом.

Любая алгебра подобна кольцу, но число ее элементов можно также умножить на различные константы, действительные, комплексные числа или – в самом общем случае – на поле. Законы сложения самые обычные, а умножение должно удовлетворять набору разных аксиом. Если при этом выполняется ассоциативность, мы имеем дело с ассоциативной алгеброй. Если они удовлетворяют законам, связанным с коммутатором xy – yx

, то это будет алгебра Ли.

Существуют десятки, если не сотни, различных типов алгебраических структур, каждая со своим списком аксиом. Некоторые были созданы только для изучения последствий отдельных интересных аксиом, но большинство обязаны своим появлением необходимости решить какую-то определенную проблему.

Простые конечные группы