Виртуальный ты. Как создание цифровых близнецов изменит будущее человечества

Суть в том, что числа одинарной точности с плавающей запятой ненадежны для хаотической динамической системы предельной простоты. Это тревожное открытие было дополнительно исследовано Миланом Клевером из Оксфордского университета вместе с Питером после дискуссий между Питером и коллегой Клевера Тимом Палмером, с которым мы столкнулись ранее при обсуждении ансамблей в прогнозировании погоды. Клевер обнаружил, что ансамбли способны улавливать больше особенностей хаотических систем, в частности, крупные орбиты, которые не только занимают больше времени, но и в конечном итоге становятся более доминирующими в симуляциях.

Новая команда использовала числа двойной точности с плавающей запятой и метод выборки динамики (для использования двойной точности потребовался бы гораздо больший (экзафлопсный) компьютер для выполнения точных вычислений, эквивалентных тем, которые выполнила команда Питера). Периодические орбиты оставались очень сильно деградировавшими, что их удивило. Да, можно было существенно уменьшить ошибки в случае нецелочисленного бета, используя двойную точность. Тем не менее, когда бета четно, ошибки не могут быть исправлены никаким улучшением точности чисел с плавающей запятой, при условии, что оно конечно (а это должно быть так, чтобы работать на любом цифровом компьютере). В этих случаях предсказания компьютера остаются совершенно неверными[120].

Питер и его коллеги обнаружили, что ошибка в предсказаниях схемы Бернулли зависит от размера наибольшей периодической орбиты, которую можно вычислить. Это открытие было развито в совместной работе с Миланом Клевером над другой простой динамической системой (также созданной Лоренцем, известной как Лоренц-96). Однако, в отличие от схемы Бернулли, здесь нет аналитического решения, и единственный способ изучить поведение Лоренц-96 – экспериментировать, наблюдать за тем, как она ведет себя, когда в нее вводят числа с плавающей запятой различной точности.

Несмотря на это ограничение, исследование выявило еще одну проблему: для всех реальных математических описаний хаотических динамических систем, таких как те, которые возникают в молекулярной динамике, а также в прогнозировании погоды и климата, орбиты настолько огромны, что их невозможно вычислить. Однако численная работа в Оксфорде показала, что, по крайней мере для Лоренц-96, когда число переменных в задаче увеличивается до многих сотен, статистическое поведение системы становится очень похожим для всех чисел с плавающей запятой – численное поведение при половинной точности хорошо согласуется с таковым при одинарной и двойной точности, увеличивая уверенность в правильности и одновременно показывая, что использование большего количества битов для решения таких задач – за счет использования чисел более высокой точности – не влияет на результаты, как ожидали Питер, Брюс Богосян и Хунъян Ван.

Множество вопросов, поднятых в этой работе, подчеркивают необходимость дополнительных исследований, чтобы выяснить, как численные результаты сходятся в правильных решениях по мере увеличения степени точности чисел с плавающей запятой. После публикации в 2019 г. Питер и его коллеги обнаружили, что Тим Зауэр, профессор математики из Университета Джорджа Мейсона в Вирджинии, вместе с другими пришел к аналогичным выводам почти два десятилетия назад, сообщив, что «в статистике моделирования чрезвычайно малые входные шумы приводят к ошибкам, которые на несколько порядков больше»[121]. Он также обнаружил, что при компьютерном моделировании детерминированных динамических систем «ошибки округления с плавающей запятой и другие ошибки усечения портят результаты моделирования»[122].