Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Недостаток платонизма заключается в том, что он перенаселяет небеса. Платонизм хорош, когда необходимо утверждать, будто реально существуют простые математические сущности (треугольник в целом, квадрат в целом или общее количество натуральных чисел). Но он рушится, едва мы оставляем в стороне объекты античной математики и обращаемся к надуманным объектам современной математики — классам, множествам, функциям и сложным абстрактным структурам, которые выходили на первый план в XIX веке.

ЛАБИРИНТ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Греки основали геометрию и подчинили ей арифметику. Но благодаря алгебре постепенно арифметика стала независимой от геометрии, что 2000 лет спустя дало возможность осуществить обратное приведение. Геометрия нашла свое место в алгебре, которая, в свою очередь, располагалась в арифметике, усиленная новым исчислением Ньютона и Лейбница. Но арифметизацию математики, произошедшую между XVII и XVIII веками, требовалось вернуть к греческой строгости и положить конец фокусам исчисления бесконечно малых.

В начале XIX века мрак математического анализа был почти абсолютным. Огюстен-Луи Коши (1789-1857) порвал с традицией бесконечно малых и переосновал анализ на понятиях предела и функции. Понятие функции было уточнено одновременно с развитием теорий дифференцирования и интегрирования. Но «Курс анализа» Коши, который увидел свет в 1821 году, строился на понятии непрерывности. Как вычисление пределов, так и работа с функциями требовали выверенного определения континуума чисел, на основе которого производились операции. Но что же представляет собой континуум? Доказательствам основных теорем анализа требовалось предварительное доказательство непрерывности прямой действительных чисел. Те, кто преподавал анализ, не знали верных доказательств теорем и пытались сделать так, чтобы официальные мистические операции принимались на веру. Это происходило даже с базовой теоремой Больцано, гласящей, что если функция непрерывна на определенном отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где эта функция равна нулю. Нечто подобное происходило в то время и с геометрией, и именно Гильберт прояснил понятие непрерывности.

В середине XIX века основная проблема состояла в том, чтобы построить действительные числа (континуум) на основе рациональных чисел, поскольку было известно, как построить последние на основе целых, а целые — на основе натуральных. Натуральные, целые, рациональные, действительные... всю математику. В 1872 году были предложены несколько теорий построения действительных чисел. Во-первых, это теория действительных чисел: ее смогли воспроизвести на основе конспектов занятий Вейерштрасса, который идентифицировал каждое действительное число с бесконечной суммой рациональных чисел. Во-вторых, это теория Кантора, аналогичная теории Шарля Мерэ (1835-1911), в которой каждое действительное число — предел последовательности рациональных чисел. И наконец, это теория Дедекинда, в которой действительное число — всего лишь сечение, оно подразумевает разделение всех точек прямой на два класса: расположенные слева и справа от сечения. Для любого сечения на прямой всегда есть действительное число, которое делит прямую на две части. Если Платон утверждал, что бог вечно геометризует, то Дедекинд объявил, что человек вечно арифметизирует. Все числа свелись, по сути, к натуральным. Это настоящий интеллектуальный подвиг. Но что такое натуральные числа?

ЛОГИКА КАК УНИВЕРСАЛЬНЫЙ КЛЮЧ К МАТЕМАТИКЕ

Поскольку арифметика напоминала дерево, которое безустанно растет вверх, в то время как его корни уходят вглубь, возникло первое течение, связанное с основаниями, — логицизм. Познакомимся с ним и с его первым идеологом, Готлобом Фреге (1848-1925). Этот немецкий математик отстаивал идею, что вся математика базируется на натуральных числах. Но как их построить? Ключ был, по его мнению, в области логики.

Всю жизнь Фреге был угрюмым преподавателем в Йенском университете. Учеников у него было так мало, что регулярно его занятия посещали только двое: один философ и один военнослужащий в отставке, который учился для души. Он был неспособен говорить на другие темы, кроме логики и математики, и всегда тактично сводил любой разговор к ним. Результатом этой одержимости была «Концептография», опубликованная с подзаголовком «Подражающий арифметике формальный язык чистого мышления» в 1879 году. Фреге наполнил новым вином старые бурдюки логики, создав «математическую логику».