Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

В XVII в. компьютеров не было – не говоря уже об интернете и социальных сетях, – что делает достижения Ферма и Декарта еще более поразительными. Как же они открыли эти огромные дружественные числа? Читайте дальше. По мнению некоторых историков математики, Декарт добился этого не вполне самостоятельно. На самом деле ту пару дружественных чисел, которую он опубликовал, нашел еще в XVI в. персидский математик Бакир Язди! Хорошо известно, что арабские математики знали довольно много пар дружественных чисел задолго до того, как их заново обнаружили математики Запада.

Более того, еще в IX столетии иракский математик, астроном и врач Сабит ибн Курра (826–901) сформулировал достаточное условие{7} дружественности двух чисел{8}. Много веков спустя Декарт и Ферма нашли его формулу и использовали ее для своих «открытий».

Интересно отметить, что вторая по порядку возрастания пара дружественных чисел (1184 и 1210) не была открыта до 1866 г. Ее открыл итальянский мальчик по имени Б. Николо И. Паганини (не знаменитый скрипач и композитор!). Непонятно, как все до единого математики со времен Пифагора умудрились не заметить эту прекрасную пару. Одной из причин этого может быть то обстоятельство, что к ней неприменим критерий, который разработал Сабит ибн Курра. Но может быть, дело просто в том, что «если ищешь ничто, то ничего и не найдешь».

К 2007 г. было открыто около 12 000 000 пар дружественных чисел. Как это ни странно, мы, по-видимому, живем в очень дружелюбном мире.

Числа женские и числа мужские

У Пифагора было много разных концепций относительно чисел: в частности, он верил, что у чисел бывают женские и мужские черты. Например, нечетные числа можно считать числами женского пола, а четные – мужского. Заметим теперь, что во все упомянутые до сих пор пары дружественных чисел входят только мужские (четные) числа.

Это, естественно, заставляет спросить: существуют ли и пары дружественных женских чисел? Оказывается, существуют. Вот несколько таких примеров: (11 285 и 14 595), (67 095 и 71 145) и (522 405 и 525 915).

А это подводит нас к самому главному вопросу: возможна ли «дружба» между числом мужским и числом женским? Другими словами, может ли быть так, чтобы суммы делителей нечетного и четного числа были равны этим числам?

На время написания этой книги никто еще не нашел ответа на этот вопрос. С одной стороны, до сих пор не найдено ни одной такой пары; с другой – невозможность ее существования тоже пока что никем не доказана.

На этом я временно оставлю Пифагора (я еще вернусь к нему в этой главе), потому что разговор о дружественных числах навел меня на мысль о некоторых других антропоморфных характеристиках чисел, о которых интересно сделать несколько отступлений.

Самовлюбленные числа

У меня нет почти ничего общего с самим собой.

Франц Кафка

Я вполне уверен, что существуют такие люди, про которых можно сказать, что у них установились глубокие дружеские отношения с самими собой. Но давайте попытаемся мыслить так, как мог мыслить Пифагор, и поинтересуемся не ими, а числами: существуют ли такие числа, суммы собственных{9} делителей которых равны самим этим числам?

Числа, обладающие этим свойством, называют совершенными числами. Сразу (то есть, разумеется, после некоторого размышления) становится ясно, что первые два совершенных числа – это 6 и 28. Здесь я сделаю небольшую паузу, чтобы мой умудренный читатель смог самостоятельно убедиться в том, что 6 и 28 – действительно совершенные числа.

Ответ: 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Что касается числа 6, вот что писал в книге «О граде Божьем» (De Civitate Dei) Блаженный Августин Иппонийский (354–430): «Не потому шестеричное число совершенно, что Бог создал все дела Свои в шесть дней, а потому Он и создал Свои дела в шесть дней, что шестеричное число совершенно».

Следующее после 28 совершенное число – 496, а следующее за ним – 8128. Русский писатель Лев Толстой любил хвастаться, что родился в «почти совершенном» году – 1828-м. Вот если бы он родился 28 июня, тогда ему действительно было бы чем гордиться (не говоря уже о том, что число 6,28 к тому же близко к 2π)[10].

Возможно, вы заметили в этой последовательности – 6, 28, 496, 8128… – некую закономерность. Любители выдвигать гипотезы могут сделать следующее предположение: последняя цифра совершенного числа бывает поочередно равна 6 и 8.

Однако эта гипотеза оказывается ошибочной. Пятое совершенное число равно 33 550 336, то есть вписывается в эту тенденцию. Но уже шестое – 8 589 869 056 – тоже заканчивается на шестерку и тем самым нарушает закономерность. Может быть, гипотезу можно слегка подправить и предположить, что все совершенные числа заканчиваются либо на 6, либо на 8.

Посмотрим на первые девять совершенных чисел:

6

28

496

8128

33 550 336

8 589 869 056

137 438 691 328

2 305 843 008 139 952 128

2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176