Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

А теперь посмотрите, что происходит дальше. Поскольку мы убрали Реджинальда из скучного списка, теперь самым скучным человеком на свете стала Брунгильда Дремотная. Но это, в свою очередь, делает несколько интересной ее, что означает, что и ее следует перенести в первый список. Если мы продолжим этот процесс, мы неизбежно придем к выводу, что в мире вообще нет – и никогда не было – ни одного неинтересного человека. Я уверен, что вы давно уже обнаружили ошибку этого рассуждения.

В мире математики существует своя популярная версия парадокса скучных людей: в ней речь идет о множестве натуральных чисел, которые невозможно описать, используя менее 1000 слов. Отметим, что количество слов конечно (например, двадцатое издание «Оксфордского словаря английского языка» содержит ровно 171 476 слов), а в нашем распоряжении ограниченное число слов (1000), следовательно, и количество таких чисел конечно. Тем не менее существует наименьшее натуральное число, которое невозможно описать, используя менее 1000 слов. Обозначим его n

и определим его следующим образом: «Наименьшее число, описание которого требует не менее одной тысячи слов».

Но что это?! Мы только что описали число n десятью словами (убедитесь сами), а следовательно, число n попадает в список чисел, которые можно описать, используя менее 1000 слов, что противоречит нашему определению этого числа.

Число n и Реджинальд Зевокк оказываются в этих двух парадоксах в одном и том же положении. Оба они определены как элементы некоторого списка, но затем их приходится исключать из этого списка в силу самого этого определения.

В чем проблема с этими двумя парадоксами? Математики терпеть не могут парадоксов и всегда ищут какое-нибудь объяснение, которое помогло бы им сохранить душевное спокойствие. Однако в этих случаях необходимо отметить, что мы использовали нематематическое свойство «можно описать», так и не дав его смыслу точного определения.

Это подводит нас к следующей теме нашего разговора.

Бывают ли вообще скучные числа?

Можно ли сказать, что некоторые числа более или менее интересны, чем другие?

Пифагор считал, что скучных чисел вообще не существует, что любое и каждое число чем-нибудь да интересно, что каждое число имеет по меньшей мере одно свойство, делающее его уникальным, или таит в себе нечто красивое или особенное.

А поскольку Пифагор придавал числам огромное значение, он стремился не только понять их с математической точки зрения, но и разглядеть в каждом из них красоту, загадку или тайну.

Какие именно характеристики числа делают его особенным или привлекательным? Это, по-моему, вопрос вкуса. «Привлекательна» ли принадлежность к совершенным числам? На мой взгляд, привлекательна. Мне также кажутся интересными пары дружественных чисел – эти числа по-настоящему умеют дружить. Было бы желание, а красоту можно найти в чем угодно – недаром говорят, что красота в глазу смотрящего.

Посмотрим, например, на число 64. В том факте, что 64 – квадрат 8 (8² = 64), нет ничего особенно выдающегося: многие другие числа тоже являются полными квадратами. Но число 64 может быть выражено и следующим образом: 64 = 2⁶ = 4³.

Это уже гораздо интереснее. Оказывается (и это очень легко проверить), 64 – первое число (не считая 1), которое является не только квадратом (то есть второй степенью некоторого числа), но и третьей и шестой степенями.

Так что же, можем ли мы назвать 64 особенным числом? Поможет ли делу тот факт, что ему равно число клеток на шахматной доске? А еще в Камасутре описаны 64 позиции, а в «И цзин», китайской «Книге перемен», – 64 гексаграммы. Делает ли это число 64 хоть сколько-нибудь более выдающимся? Не знаю – решайте сами. А еще вы можете попробовать найти другие свойства, которые делают число 64 уникальным.

Предположим, нечто интересное есть в любом числе, и рассмотрим число 65, идущее сразу после 64. Можно ли найти что-нибудь замечательное в нем?

Разумеется, можно! Это число – второе в множестве натуральных чисел (после 50), выражаемое двумя разными суммами двух квадратов: 65 = 8² + 1² = 7² + 4². Кроме того

, его еще можно выразить суммой двух кубов! 65 = 1³ + 4³. Более того, 65 – первое число, которое может быть выражено как суммой двух квадратов (причем двумя разными способами!), так и суммой двух кубов. Поразительно!

Сам Пифагор считал самым интересным число 36. Он полагал, что это идеальный возраст для мужчины (было ли у него какое-нибудь мнение об идеальном возрасте для женщины, я не знаю).

Математические свойства числа 36 впечатляли Пифагора, потому что:

36 = (1 + 2 + 3)² = 1³ + 2³ + 3³.

Когда я был моложе, я был согласен с Пифагором (и относительно вариантов выражения числа 36, и в том, что 36 лет – очень приятный возраст), но теперь я придерживаюсь более оптимистической точки зрения и считаю «идеальным возрастом» – как для мужчин, так и для женщин – 100 лет:

100 = (1 + 2 + 3 + 4)² = 1³ + 2³ + 3³ + 4³.