Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

У нас есть бесконечный ряд слагаемых, разделенных поочередно плюсами и минусами. Первое слагаемое – единица, но каждое следующее после него – произведение целого числа и дроби. Целое число каждый раз увеличивается на 4. Числитель дроби равен степени произведения нечетных чисел, а ее знаменатель – степени произведения четных чисел, причем количество множителей каждый раз увеличивается на единицу. Рамануджан утверждает, что чем больше в этой формуле сомножителей, тем ближе ее результат становится к двойке, деленной на π (отношение длины окружности к ее диаметру)! При бесконечном числе сомножителей результат будет в точности равен отношению двойки к π.

Откуда взялось это равенство? У Рамануджана были тысячи (!) таких формул (точнее, почти 3900). Вы, вероятно, не поверите, но те, что приведены выше, относятся к числу самых простых из них!

Чтобы быть до конца честным, я должен сказать, что некоторые из формул Рамануджана не были стопроцентно точными, но я твердо придерживаюсь того мнения, что из ошибок великого человека можно узнать гораздо больше, чем из истинных утверждений посредственности.

Харди и Рамануджан

Харди и Рамануджан разительно отличались характерами. Харди был атеистом (и считал Бога своим злейшим врагом) и отличался исключительным педантизмом во всем, что касается математики: он хотел видеть доказательство каждой формулы. Рамануджан же был человеком во всех отношениях глубоко религиозным, а в отношении математики больше полагался на интуицию. Он не только видел в своих уравнениях и тождествах проявление божества, но и не любил рассказывать, как именно он к ним пришел, опасаясь, что его могут признать сумасшедшим. Это напоминает мне одну сцену из фильма «Амадей» Милоша Формана: Сальери читает ноты Gran Partita[12] Моцарта и приходит к уверенности, что ее продиктовал Моцарту сам Бог. Потом Сальери разглагольствует о том, почему Бог не выбрал его самого, чтобы продиктовать ему столь возвышенное сочинение. Видимо, некоторые считают, что гений может даваться только Богом.

Следующее равенство, на мой взгляд, – самая странная из формул Рамануджана:

1 + 2 + 3 + 4 + ··· = –1/12.

Что???

Она кажется совершенно неверной! Бесконечная сумма, которая стоит в левой части, должна быть равна бесконечности; из нее никак не может получиться отрицательного числа! Но, можете быть уверены, Рамануджан понимал, что он делает, и эта запись отнюдь не бессмысленна: он работал с очень важной дзета-функцией Римана – Эйлера (это функция комплексного переменного, рассмотрение которой выходит за рамки этой книги). Рамануджан писал в письме к Харди: «Согласно моей теории, сумма бесконечного числа членов ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … = –1/12. Если я скажу Вам об этом, Вы сразу же ответите, что мне прямая дорога в сумасшедший дом».

Несмотря на всю строгость Харди в вопросах, касавшихся математики (во всем остальном он пользовался репутацией человека исключительно мягкосердечного), он не мог устоять перед очарованием прекрасных уравнений индийского гения.

Формулы Рамануджана должны быть верными, потому что, если бы они не были верными, ни у кого не хватило бы воображения их выдумать.

Г. Г. Харди

Харди показал работы Рамануджана одному из своих коллег, с которым он часто работал вместе, Джону Литлвуду (мы уже встречались с ним раньше, когда говорили о парадоксе с теннисными мячами). Литлвуд тоже был поражен явной гениальностью Рамануджана. Он говорил, что не знает математиков, которых можно было бы сравнить с Рамануджаном: он превосходил всех их.

Чтобы проиллюстрировать, до какой степени Харди и Литлвуд с течением времени стали считаться лидерами современных математических исследований в Англии, я могу сообщить, что один из моих превосходных коллег сказал однажды в шутку: «В наше время есть всего три по-настоящему великих английских математика: Харди, Литлвуд и Харди – Литлвуд»

{10}.

Харальд Бор

Харди был просто замечательным математиком. Но когда Пал Эрдёш (которого мы тоже уже встречали) спросил Харди, что, по его мнению, было его величайшим вкладом в математику, Харди ответил: «Открытие Рамануджана».

К этому я добавлю только одно: у Харди была привычка классифицировать математиков по шкале от 0 до 100. Самому себе он поставил 25, своему коллеге Литлвуду – 30, а великому немецкому математику Давиду Гильберту (в честь которого названа целая область математики – «гильбертовы пространства») – 85. Рамануджану он поставил высочайшую оценку из возможных – ровно 100!