Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Но каково значение того утверждения, которое мы только что доказали?

С точки зрения геометрии оно означает следующее: мы легко можем построить прямоугольный треугольник с катетами единичной длины и столь же легко построить его гипотенузу, но не можем точно определить длину этой гипотенузы относительно длин двух других сторон треугольника за конечное число шагов.

Столь простая геометрическая концепция – гипотенуза треугольника – опровергает основополагающий принцип философии Пифагора, который утверждает, что всё образовано из натуральных чисел. Легко вообразить, что вместе с радостью открытия Пифагор ощутил сильнейшее разочарование.

Мы можем пойти и другим путем – использовать калькулятор. Введите √2 и посмотрите, что из этого получится. Я получил число 1,4142136. Попробуйте умножить это число в столбик само на себя. Если это число – точное значение квадратного корня из 2, то результат его умножения само на себя должен быть точно равен 2. Но это не так! Если хотите, проверьте сами. Дело в том, что мы не получаем ровно 2, потому что калькулятор выдает лишь приближенное значение √2. Даже если купить самый лучший, самый совершенный калькулятор, выдающий больше десятичных знаков после запятой, результат все равно будет лишь приближением к √2, но никогда – точным значением √2.

Взяв вместо калькулятора компьютер, я получаю следующий результат:

1,41421356237309504880168872420969807.

Если вам нужно невероятно скучное занятие на дождливый вечер, попробуйте самостоятельно умножить это число само на себя и проверить, получится ли 2. Не получится. Вы снова получите некий результат, близкий к 2, но не равный 2.

А теперь объяснения

Вот удобный способ понять, что такое иррациональное число: когда мы пишем, что √2 равен 1,4142135… очень трудно объяснить, что обозначает это многоточие в конце. Иррациональность числа подразумевает, что 1) его десятичное представление бесконечно, и 2) в нем никогда не возникают какие бы то ни было повторяющиеся структуры.

Если число десятичных знаков после запятой конечно, такое число явно рационально – то есть вполне может быть выражено в виде дроби a/b. Например, 0,174271 = 174 271 / 1 000 000.

Число, имеющее бесконечное десятичное представление с повторяющейся структурой также рационально, хотя понять это может быть немного труднее. Например, рассмотрим число r = 0,123123123123… В этом числе имеется простая повторяющаяся структура, и легко доказать, что это число рационально, то есть может быть представлено в виде a/b.

Умножим число r на 1000 (число 1000 было выбрано в связи с длиной повторяющейся структуры) и вычтем из результата r:

1000r – r = 999r = 123,123123123… – 0,123123123… = 123.

Следовательно, r = 123/999, что можно сократить до 41/333, а это явное отношение двух целых чисел, и, если вы разделите в столбик 41 на 333, вы сможете убедиться, что эта дробь действительно равна 0,123123123…

Однако проделать тот же фокус с √2 нельзя, потому что десятичное представление этого числа бесконечно и не повторяется. Мы можем найти дроби, очень близкие к √2, – например 577/408. Они дают весьма хорошее приближение, но и только – всего лишь приближение. Интересно отметить, что сам Пифагор отказывался считать √2 числом. Многие упрекали – и до сих пор упрекают – его за это; на мой взгляд, безосновательно.

Важно помнить, что √2 – всего лишь символ числа, которое при умножении само на себя дает 2. Как я уже говорил, можно было выбрать символом этого числа не √2, а цветок, и сказать, что этот цветок обозначает число, при возведении которого в квадрат получается 2. Отличается ли общепринятый математический символ от цветка? Может быть, нам следовало бы начать использовать в математике побольше цветов – тогда она стала бы гораздо более веселой.

Единственное различие между общепринятым символом и нашим цветком состоит в том, что цветок менее удобно использовать. На самом деле нас вообще не интересуют символы: мы хотим записать число, квадрат которого равен 2. Но оказывается, что сделать этого мы не можем: сколько бы цифр после запятой мы не выписали, их никогда не будет достаточно. Нам нужно выписать бесконечно много цифр, а этого не случится никогда.