Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Феодор (465–398 до н. э.), родившийся лет через тридцать после смерти Пифагора и бывший личным учителем математики у Платона, доказал, что квадратные корни из 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 и 17 также равны иррациональным числам. Платон восхищался Феодором и даже упомянул его открытие иррациональности квадратных корней в диалоге «Теэтет»{19}. Мнения о том, почему он остановился на 17, разнятся. В диалоге Теэтет просто говорит Сократу, что Феодор остановился на этом числе. Популярная версия утверждает, что Феодор строил из треугольников спиральную конструкцию, которая носит сегодня его имя. Если вы продолжите это построение, то сразу же увидите, почему его последовательность прекратилась именно на этом числе. Вот спираль Феодора:

Головоломка

Докажите, что квадратный корень из 3 – иррациональное число.

Попробуйте доказать, что квадратный корень из любого целого числа может быть только либо целым, либо иррациональным числом. Другими словами, квадратный корень из любого целого числа, кроме полного квадрата – 4, 9, 16, 25 и так далее, – всегда иррационален.

Ну хорошо. Когда Пифагор решил, что на свете не существует числа, квадрат которого равен 2, он слегка преувеличивал. На свете есть число, квадрат которого равен 2, и число это иррационально. Сегодня математики умеют обращаться с такими числами без особых затруднений – даже несмотря на то, что мы не можем записать их полностью. Честь основания математической теории иррациональных чисел в первую очередь следует приписать трем математикам – Рихарду Дедекинду (1831–1916), Карлу Вейерштрассу (1815–1897) и Георгу Кантору (1845–1918). Не следует полагать, что работать с такими числами легко и просто. Подумайте, например, как сложить √2 и √3 – притом что оба эти числа имеют бесконечное десятичное представление.

В самом деле, как сложить 1,41421356237309504880168872420969807… и 1,73205080756887729352744634150587236…?

Фундаментальные правила сложения, которым нас научили еще в школе, гласят, что начинать надо со сложения самых правых цифр. Но здесь мы не можем найти самые правые цифры – десятичное представление этих чисел бесконечно! Что же делать? Я же говорил вам, что не следует насмехаться над Пифагором из-за того, что он не желал считать иррациональные числа числами.

Многие считают сделанное Пифагором открытие иррациональных чисел самым важным открытием во всей истории математики{20}.

Легенда утверждает, что Пифагор велел своим ученикам хранить его открытие иррациональности длины диагонали квадрата относительно длин его сторон в секрете. Однако один из них, Гиппас, нарушил данное ему обещание (неизвестно, по каким причинам – научным или политическим) и разгласил эту тайну. Далее легенда рассказывает, что Гиппас был изгнан из сообщества пифагорейцев, а кое-кто утверждает даже, что его утопили в море (он попросту не вернулся из одного из своих плаваний вокруг греческих островов). По другой версии, иррациональные числа открыл именно Гиппас, а Пифагор не имел к этому открытию никакого отношения.

Более чем через две тысячи лет после смерти Пифагора Кантор показал, что «почти» все вещественные числа иррациональны. В число таких чисел входят и два из самых важных чисел в математике – число Эйлера e и отношение длины окружности к ее диаметру, число π.

Комментарий и пять упражнений

Я обещал, что буду использовать в этой книге только четыре базовые математические операции. Но кому нужен такой «закон», который нельзя нарушить хотя бы один раз? Вот сейчас мы его и нарушим.

Числа, доказать иррациональность которых легче всего, порождаются операцией логарифмирования{21}. Например, рассмотрим log₂

3, то есть логарифм 3 по основанию 2. Докажем его иррациональность. Для начала предположим, что этому числу равно отношение m/n:

Исходя из определения логарифма и законов операций со степенями, из этого следует, что 2 ^m/ⁿ = 3, а (2 ^m/

ⁿ)ⁿ = 3ⁿ, а следовательно, 2 ^m = 3ⁿ.

Однако никакая степень 2 не может быть равна какой бы то ни было степени 3[28]: 2 в любой степени всегда дает четное число, а 3 в любой степени – нечетное. Значит, мы пришли к противоречию. Другими словами, не существует таких чисел m и n

, для которых

что означает, что m/n не может быть рациональным. Следовательно, log₂3 – иррациональное число.

Пять головоломок

1. Докажите, что золотое сечение{22} ϕ[29] – иррациональное число.