Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Математическая теория бесконечности, как и почти все остальное в западной цивилизации, уходит корнями в Древнюю Грецию. Интересно отметить, что греческое слово ἄπειρον (апейрон), обозначающее бесконечность, имеет два значения. Одно из них – нечто неограниченное; второе имеет скорее отрицательный смысл – «нечто неопределенное». Понятие бесконечности впервые ввел в философию Анаксимандр, философ и астроном, ученик Фалеса и учитель Пифагора, живший в VI в. до н. э. В космологии Анаксимандра бесконечность считалась одной из основ мироздания, своего рода неограниченным, неопределенным материалом, который служит основой всего сущего. Некоторые из исследователей досократовской философии видят в Анаксимандре первого метафизика, который включил в греческую философию абстрактную концепцию бога.

Какое бы значение слова «апейрон» мы ни взяли, в мире Пифагора ему не было места. Как вы, разумеется, помните, Пифагор был убежден, что мир состоит из чисел, и все в нем может быть сведено к представлению, построенному при помощи натуральных, то есть положительных целых, чисел. По сути дела, натуральные числа были атомами Пифагора.

И ошибочность этого убеждения открыл не кто иной, как сам Пифагор.

Иррациональное число!!!

Есть некая ирония в том, что препятствие на пути рассуждений Пифагора о том, что все на свете в конечном счете может быть выражено при помощи чисел, явилось, каким бы невероятным это ни показалось, именно из геометрии – когда сам Пифагор обнаружил, что соотношение между стороной квадрата и его диагональю невозможно выразить отношением натуральных чисел.

Сейчас объясню.

Начнем с квадрата, стороны которого имеют единичную длину. Обозначим длину его диагонали с:

Вот что говорит теорема, прославившая Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

В приложении к нашему чертежу это означает, что 1² + 1² = с², а следовательно, c = √2.

Отметим, что √2 – всего лишь символ, обозначающий число, которое, будучи умножено само на себя, дает число 2. Теоретически мы могли бы нарисовать цветок и сказать, что он обозначает число, квадрат которого равен 2. Очевидно, не существует такого целого числа, квадрат которого был бы равен 2 (поскольку 1 в квадрате равно 1, 2 в квадрате равно 4, а других целых чисел между 1 и 2 нет).

Но может ли существовать некая дробь a/b, такая, что при возведении ее в квадрат получает- ся 2? Здесь я напомню вам, что числа вида a/b, где a – целое число (которое может быть и нулем), а b – натуральное (то есть положительное целое) число, называются рациональными числами. Пифагор, несомненно, был бы очень рад, если бы такая дробь существовала, потому что это отлично согласовывалось бы с его философским воззрением, что все на свете может быть представлено натуральными числами.

Однако Пифагора ожидали чрезвычайно неприятные новости!

Сейчас мы докажем, что √2 никак не может быть выражен дробью вида a/b, где оба числа a и b – натуральные. Другими словами, мы докажем, что √2 – число не рациональное.

Для этого мы воспользуемся методом доказательства от противного, с которым мы уже встречались в этой книге. Другими словами, сначала мы предположим, что утверждение, которое мы хотим доказать, ложно, то есть что существуют такие два числа a и b, что a/b = √2. Затем мы покажем, что логические следствия из этого предположения приводят к противоречию.

Начнем наше доказательство с предположения, что a/b – приведенная дробь[27], то есть дробь, записанная с наименьшим возможным знаменателем (так, например, дроби 21/14 и 15/10 могут быть сведены к дроби 3/2). Чтобы доказать, что √2 – иррациональное число, достаточно показать, что не существует приведенной дроби, равной квадратному корню из 2. Такое дополнительное предположение относительно этой дроби пригодится нам для доказательства. Это предположение допустимо, потому что записать в приведенном виде можно любую дробь; следовательно, если не существует приведенной дроби, равной √2, то это означает, что не существует и вообще никакой дроби, которая была бы равна √2.

Итак, возьмем приведенную дробь a/b и предположим, что a/b = √2. Небольшое преобразование дает нам √2·b = a, а после возведения обеих частей этого равенства в квадрат мы получим 2b² = a². Из этого явно следует, что a² – четное число, что означает, что и число a должно быть четным. Следовательно, в предыдущем равенстве мы можем произвести подстановку a = 2k и получим:

2b² = (2k)²;

2b² = 4k²;

b² = 2k².

Мы видим, что b² – четное число, что означает, что и число b должно быть четным.

Однако если оба числа a и b – четные, дробь a/b не может быть приведенной, потому что и числитель, и знаменатель можно разделить на 2. Следовательно, мы получили противоречие с предыдущим предположением о том, что мы начали с приведенной дроби. Другими словами, мы только что доказали, что √2 не может быть отношением двух целых чисел. Вывод: √2 должен быть числом иррациональным.

Ч. т. д.