Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

АПОЛОГИЯ ЗЕНОНА

Послушайте, я боюсь, что вы совершенно не поняли того, что я тут пытался объяснить. Я предложил вам весьма убедительное рассуждение, доказывающее, что Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, если этому пресмыкающемуся дадут на старте забега хоть малейшую фору. Вы что, хотите сказать мне, что через две секунды Ахиллес окажется в 20 метрах от линии старта и будет опережать черепаху, которая будет находиться всего в 12 метрах от старта, на 8 метров?

Во-первых, я не просил никаких объяснений. Я только предложил вам найти ошибку в моем рассуждении. Вы же занялись совершенно не этим.

Во-вторых, хотя вы вели себя не лучшим образом, я все же предлагаю объединить два рассуждения – мое и ваше. Единственный возможный вывод, не противоречащий всем утверждениям, высказанным до сих пор, состоит в том, что две секунды никогда не пройдут. И у меня есть неопровержимое доказательство этого положения.

Видите ли, чтобы эти две секунды прошли, сначала должна пройти половина этого времени, то есть одна секунда. Но еще до этого должна пройти половина секунды, а до того – половина этой половины (другими словами, четверть секунды), а еще раньше – половина этого времени и так далее и так далее…

Совершенно невозможно, чтобы прошло бесконечное число половинных промежутков времени. Следовательно, время вообще не проходит, что означает, что его и не существует. Вы просто чересчур погружены в обманчивый мир чувств.

Хотя я и не верю в чтение – ибо это еще одна распространенная иллюзия чувственного мира, – некогда я тем не менее прочитал несколько строк, которые содержат почти разумное утверждение:

Время не проходит –

проходим мы. Да, мы.Мы не тратим времени –время тратит нас.

А раз уж мы заговорили о книгах, вот человек, который написал немало книг, а прочел их еще больше, чем написал, и дает моей благородной точке зрения блестящее обоснование.

Это Бертран Рассел, английский философ и математик (да, я понимаю, что он будет жить через две тысячи лет после того, как время окончательно потратит меня, и все же…).

Рассел считается одним из величайших мыслителей XX столетия, и у него был свой вариант моей знаменитой апории об Ахиллесе и черепахе (к слову сказать, время потратило и Рассела). Рассел изложил свою вариацию моей апории в статье «Математика и метафизики»[33], в которой он также удостоил меня звания «отца философии бесконечности» – каковое звание я, разумеется, нахожу весьма впечатляющим, несмотря на свою привычку сомневаться во всем, в том числе и в собственной способности сомневаться.

Кое-кто утверждает, что версия Рассела более замысловата, чем моя, и ее не так легко опровергнуть. Мне не кажется, что сравнивать эти версии честно – Рассел придумал свою, стоя на моих плечах. Когда ребенок стоит на отцовских плечах, он не становится выше отца. Зато мне кажется, что опровергнуть ее не просто нелегко, а невозможно (как, впрочем, и мою).

Вот что говорит Рассел: «Допустим, черепаха начинает забег с некоторого положения, находящегося перед Ахиллесом. В любой момент черепаха оказывается в некой определенной точке, и Ахиллес оказывается в некой определенной точке, причем ни один из них не бывает в одной и той же точке дважды на протяжении всего забега. Черепаха побывает в таком же количестве точек, что и Ахиллес, потому что оба они в каждый конкретный момент находятся в неких конкретных точках, а в другой момент – в других точках. Однако, поскольку черепаха начинает забег с форой, для того, чтобы Ахиллес обогнал черепаху, необходимо выполнение следующего условия: те точки, в которых побывает черепаха, должны составлять лишь часть тех точек, в которых побывает Ахиллес».

А теперь сосредоточьтесь и слушайте внимательно. Версию Рассела можно опровергнуть, только если отказаться от аксиомы, которая утверждает, что часть всегда меньше целого: Ахиллес побывал лишь в некоторых из точек, в которых побывала черепаха. Готовы ли вы отбросить эту аксиому? Рассел отмечает, что всякий, кто верит в ее истинность, должен согласиться, что Ахиллес, даже если он бежит в десять, в тысячу, да хоть бы и в миллион раз быстрее черепахи, никогда ее не догонит, если у черепахи была фора в метр или в сантиметр или в миллиметр.

Что же тут такое происходит? Вы следите за моими рассуждениями? Я могу показать вам, что на пути, который проходят оба бегуна – и черепаха, и Ахиллес, – существует бесконечное множество точек. Может быть, когда мы говорим о бесконечном, привычные нам правила перестают действовать?

Кстати говоря, если вы помните мою первую апорию, все эти рассуждения вообще не имеют смысла. Ахиллес и черепаха не могут даже начать свой забег: движение-то невозможно. Я позволяю вам делать столь странные предположения только из вежливости. Ха! Они даже не смогут уйти со старта! Да и вам не удастся даже выстрелить из стартового пистолета. Чтобы нажать на спусковой крючок, ваш палец должен сначала преодолеть половину расстояния, затем половину оставшегося, затем… ну, вы помните это рассуждение.

Как-то раз я опоздал на встречу со своим великим учителем и наставником Парменидом. Я объяснил ему, что опоздал, потому что по пути к месту нашей встречи в таверне «Елена Прекрасная» мне нужно было преодолеть бесконечное число половинных расстояний. Нас обоих поразил тот факт, что я вообще сумел туда добраться и мы смогли вести эту беседу.

По правде говоря, не знаю, зачем я вообще пытаюсь обосновать перед вами свои рассуждения. Как сказал однажды китайский философ Лао-цзы, «Тот, кто мудр, не спорит; тот, кто спорит, не мудр»[34]. Я мудр, так что пойду-ка я отсюда (если смогу).