Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение

Представьте себе, что в состязание Ахиллеса с черепахой вносится небольшое изменение. Каждый раз, когда Ахиллес добирается до точки, в которой раньше была черепаха, оба бегуна останавливаются и отдыхают минуту (черепахе такой отдых очень нужен). В этом случае Ахиллес догонит черепаху через бесконечное число минут – то есть никогда ее не догонит. Сколько же вариаций у этой темы!

Смерть героя

Назавтра после забега стаккато чрезвычайно обескураженный Ахиллес решил все же продолжать тренироваться. Он решил начать тренировку в два часа дня. Без одной минуты два Ахиллес явился на стадион. Однако у героя Троянской войны никогда ничего не выходит просто. Бесконечных олимпийских богов привел в ярость шум, поднятый воином, как раз когда они готовились к своей божественной послеполуденной сиесте, и они решили разделаться с ним, поразив его в пятку отравленной стрелой. Первый бог решил выстрелить в Ахиллеса через полминуты после двух часов, а второй бог решил убить его в другое время – через четверть минуты после двух. Третий бог предпочел запланировать это злодеяние на одну восьмую минуты после двух… ну и так далее.

К двум часам и одной минуте здоровье Ахиллеса оказывается, мягко говоря, подорвано: он лежит мертвый, а из его пятки торчит бесконечное количество отравленных стрел. Однако никого из богов нельзя обвинить в его смерти. У каждого из них есть превосходное оправдание, причем одно и то же: «Когда я выпустил свою стрелу в Ахиллеса, он уже был мертв, так как в его пятку попало бесконечное количество стрел. Я признаю, что стрелять в труп – дело неблаговидное, но это вовсе не значит, что меня можно обвинить в убийстве».

Вопрос: кто же убил Ахиллеса? И когда?

Математик в космосе

Вы, вероятно, уже заметили, что, как только мы начинаем задевать концепции вроде нуля и бесконечности, многие из «нормальных» законов перестают работать. Я расскажу вам об одном знаменитом мысленном эксперименте под названием «Космический корабль».

Попытайтесь представить себе, что произойдет с космическим кораблем, который летит по следующим правилам: первые полчаса он летит со скоростью 2 километра в час (то есть очень медленно по меркам космических кораблей). На следующую четверть часа его скорость несколько возрастает – до 4 километров в час. В течение следующей одной восьмой часа он летит со скоростью 8 километров в час – и так далее. Где этот космический корабль окажется через час?

Расчет несложен. За первые полчаса, пока корабль летит со скоростью 2 километра в час, он пролетит один километр. За следующие четверть часа, летя со скоростью 4 километра в час, он тоже пролетит один километр. И так далее и так далее: еще километр, и еще километр, и еще один. Легко видеть, что расстояние, которое преодолевает космический корабль, равно 1 + 1 + 1 +… Однако число единиц, которые нужно сложить, бесконечно, и, следовательно, бесконечна и итоговая сумма. Так где же наш космический корабль? По-видимому, нигде, потому что он должен оказаться на бесконечном расстоянии от точки запуска. Если бы космический корабль находился в какой-либо определенной точке, она была бы расположена на определенном расстоянии от точки запуска, но этого быть не может, так как корабль улетел на бесконечное расстояние. Где же он? Неизвестно. Поиски космического корабля продолжаются до сих пор.

Бесконечность нельзя найти ни в одной точке бесконечной прямой.

Георг Гегель

Словесные вычисления

Докажите, не проводя никаких вычислений (то есть на словах), что:

.