Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей

Пожалуй, стоит задуматься и признать, что перед нами – новый взгляд на природу вообще и движение в частности. Вместо привычных нам величин и их значений на первый план выходят отвечающие им операторы, предназначение которых – действовать на волновые функции (превращать одни в другие). Сами по себе операторы ни в какой мере не выражаются числовыми значениями. Но каждый оператор способен задавать волновой функции (состоянию) вопрос: не случилось ли так, что в данном состоянии определенная величина все-таки выражается числом? Состояний, для которых это случается, в определенном смысле «мало»; это собственные состояния данного оператора – те, которые под его воздействием претерпевают всего лишь умножение на число. У каждого предписания свой набор собственных состояний, которые так себя ведут, и набор собственных чисел, которые при этом появляются в качестве множителей. Эти числа (круг замкнулся!) и представляют собой все возможные значения данной величины – той, на которую мы и надели шляпу, чтобы получить данное предписание. Для гамильтониана это значения энергии, для оператора отвечающего количеству движения вдоль x, это возможные значения количества движения вдоль этого направления. То, что здесь происходит, называется квантованием: привычные величины превращаются в операторы и приобретают в этом качестве самостоятельное существование, а возможные численные значения каждой величины в конкретной системе возникают как продукт взаимоотношений этих операторов с некоторыми специально устроенными (собственными

) волновыми функциями, уж какие найдутся. Это вершина нашего восхождения к абстракциям. Осталось только собрать их в уравнение Шрёдингера.

Кульминация! Вот как работает квантование

*****

Уравнение Шрёдингера. Самый главный среди операторов – гамильтониан («переделанная энергия»), потому что, согласно уравнению Шрёдингера, он определяет, как волновая функция изменяется с течением времени. Применение гамильтониана к (любой) волновой функции Ψ производит из нее какую-то «совсем другую» волновую функцию (какая она получится, зависит и от того, каков гамильтониан, и, конечно, от того, на какую волновую функцию он набросился). Уравнение Шрёдингера требует, чтобы волновая функция изменялась во времени так, чтобы темп ее изменения всегда был равен той волновой функции, которая получается после применения гамильтониана. Неформально говоря, скорость изменения волновой функции определяется тем, как гамильтониан «толкает» эту волновую функцию – именно в этом качестве он и управляет эволюцией. В действительности равенство должно иметь место с точностью до умножения на постоянную величину, одну всегда и для всех:

Этим регулируется изменение во времени любой и каждой волновой функции. С 1926 г. и поныне это уравнение применялось неисчислимое количество раз и продолжает с успехом применяться[255].

В качестве промежуточного итога наших странствий по миру труднопредставимого мы сейчас «получим атом» из уравнения Шрёдингера. Среди возможных зависимостей волновой функции от времени имеется класс простейших и в некотором роде «несущественных», когда темп изменения волновой функции максимально просто выражается через саму волновую функцию: вся левая часть уравнения Шрёдингера, (постоянная) · (темп изменения Ψ), просто равна той же волновой функции, умноженной на число: E · Ψ

. Такие волновые функции/состояния называются стационарными состояниями; они встречались нам на предыдущей прогулке, это «постоянные-насколько-возможно» состояния[256]. Левую часть уравнения Шрёдингера, равную для них E · Ψ, в записи традиционно переставляют местами с правой частью, в результате чего получается уравнение для стационарных состояний

Дискретное из непрерывного: все дело в собственных состояниях

Поскольку гамильтониан получен из выражения для энергии, числа E здесь – это значения энергии. Какие? Те самые!! Те, которые может (которые только и может) иметь система с данным гамильтонианом в стационарных состояниях («несущественно» зависящих от времени). Из этого уравнения требуется определить как собственные значения гамильтониана – те значения энергии E, при которых найдутся (не равные нулю) решения Ψ, так и сами эти решения, по одному или по нескольку для каждого из найденных значений E. Именно так вычисляются дискретные значения энергии, при которых электрон может существовать в атоме. Последнее приведенное уравнение тоже называется уравнением Шрёдингера, но, в отличие от выписанного ранее, – стационарным уравнением Шрёдингера. В нем нет зависимости от времени; оно говорит, каким образом атом (молекула, …) может существовать «на постоянной основе», и к нему-то и надо обращаться по всем вопросам о «пойманном» движении (когда части системы не разлетаются прочь)[257].