Знание-сила, 2006 № 06 (948)

Но на самом деле случился еще один кризис. В теории множеств Кантора и в технике математических доказательств обнаружились парадоксы. Некоторые из них, как оказалось, замечали еще античные философы. Например, парадокс лжеца: истинно или ложно утверждение "Я лгу"? Ведь если оно истинно, то я говорю неправду и мое утверждение, таким образом, ложно! Стало ясно, что нужно еще и еще усовершенствовать и шлифовать язык математики, технику доказательств. Например, разрешение парадокса лжеца предлагалось искать в том, чтобы последовательно уточнять, лгу ли я всегда, или только в отдельных случаях, а само парадоксальное утверждение считать плохо сформулированным. Эти поиски заняли весь XX век, и окончательное решение еще далеко не найдено. Книги, которые излагают полученные находки, захватывают гораздо больше, чем детективы Б. Акунина — нужно только немножко подучиться основам математики! Например, книга "Основания теории множеств" Френкеля и Бар- Хилела, перевод которой с не менее интересными примечаниями Есенина-Вольпина появился в 1966 году, захватывала так, что трудно было не проехать нужную тебе остановку.

Одно казалось ясным — нужно формулировать и доказывать строже. Нельзя идти на поводу у физиков, а тем более биологов, экономистов и других представителей прикладных наук. Пусть задача оказалась сложнее, чем мы думали, но путь развития указан правильно.

Беда подкралась незаметно. Сначала стали появляться теоремы, которые удачно сочетали строгость математических рассуждений и полную неправдоподобность выводов. Те, кто читали замечательную книгу Гашека о бравом солдате Швейке, помнят, как Швейк встретил в психиатрической лечебнице среди разнообразных людей, уклонявшихся от военной службы, сумасшедшего профессора математики, доказывавшего, что "внутри земного шара имеется другой шар, значительно больше наружного". Это, конечно, шутка, но не безобидная, а злая — в так называемой инвариантной проблеме объема действительно встречаются утверждения такого типа[* Г. Халвигер. "Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии". М., Наука, 1966, стр. 196.]

На этом этапе достаточно было сказать — не делайте необоснованных выводов из теорем, не вычитывайте в них того, чего в них нет! По этому рецепту написаны многие книги по математике. В них действительно нет (наверное!) ошибок, но их почти невозможно читать и применять. Чем дальше, тем больше математические книги стали доступными только самым узким специалистам. Появились теоремы, доказательство которых занимает сотни страниц. Сомнительно, чтобы эти доказательства читали больше, чем 1-2 человека, а некоторые, наверное, в деталях не читал никто, кроме автора. Представители разных областей математики перестали понимать друг друга.

Но самый страшный удар нанесло появление компьютеров. Люди, далекие от математики, поначалу думали, что компьютеры — тогда они назывались электронными вычислительными машинами — это нечто из области математики. Математическое сообщество с редким единодушием думало иначе. С помощью компьютера можно решать различные задачи — поначалу числовые, выражая решение сложных задач через простые арифметические действия. Потом стало возможным производить на компьютерах алгебраические операции, приводить подобные члены, строить графики. Но вот что уж плохо поддается компьютеризации — это доказательство теорем. Конечно, и здесь нашлись исключения. Более того, удалось доказать, что все теоремы элементарной геометрии в принципе можно вывести из аксиом с помощью компьютера. Но эти "доказательства" совершенно непохожи на обычные математические доказательства. Многие привычные приемы традиционной математики в принципе нельзя доверить компьютеру (он не понимает выражений типа — выберем из всех этих множеств по элементу и образуем из них новое множество). Около 50 лет основная часть математического сообщества делала вид, что компьютер —полезная, но не имеющая отношения к математике вещь.

В последние 10-15 лет положение кардинально изменилось. Через несколько недель я должен рассказывать студентам, как строить графики функций. Учебник ясно говорит — нельзя строить графики по нескольким произвольно выбранным значениям функции, как говорят, по точкам. Нужно искать характерные точки функции — минимумы, максимумы, перегибы, нули, а потом, опираясь на эти знания, нужно нарисовать эскиз графика. Вычисление конкретных значений может только несколько уточнить эскиз.