Знание-сила, 2006 № 06 (948)

Чтобы обнаружить приметы кризиса, давайте задумаемся, что, собственно. отличает математиков от представителей других родственных наук, скажем, теоретической физики. Ну, конечно, это теоремы. Еще в школе мы твердо усвоили: математики — это люди, доказывающие теоремы. Но вот что странно. Я открываю книгу Леонарда Эйлера "Введение в анализ бесконечно малых", изданную у нас полностью в 1961 году (первое издание 1936 года осталось незаконченным, вышел только первый из двух томов).

Эту книгу подарил мне мой дядя, когда я поступил в университет. Непосредственно для изучения математического анализа книга уже давно непригодна — уж очень изменилась математика со времен Эйлера и Ломоносова, но по ней хорошо видно, как развивалась математика.

Я открываю книгу и вижу, что в ней совершенно нет теорем! Есть какие-то общие утверждения — они выделены курсивом, но нет и следа общих доказательств. Есть примеры решения задач, которые при желании и владении несложной для профессионала математической техникой можно превратить в теоремы. Даже в книгах по теоретической физике сейчас трудно встретить такой уровень изложения. В чем дело? Ведь Эйлер, несомненно, был великим математиком, я постоянно рассказываю о его результатах на лекциях. Правда, к большинству из этих результатов с трудом применимо слово "теорема", про них говорят "второй замечательный предел", "подстановки Эйлера", "формула Эйлера" и тому подобное. А с другой стороны, Эйлер одновременно и великий физик. Ну кто из студентов, изучавших, например, гидродинамику, не слыхал об уравнениях Эйлера?

Дело в том, что Эйлер жил в XVIII веке, а математика того времени практически неотделима от физики. Перед Эйлером, видимо, вообще не вставал вопрос о том, кто же он — математик или физик. Забавно, что вообще линия раздела между математикой и физикой по-разному проходит во Франции, Германии, России, с одной стороны, и в англосаксонских странах (Великобритании, США и так далее), с другой. У нас математик — тот, кто доказывает теоремы, а у них — тот, кто пишет формулы. Те, кого у нас уверенно называют специалистами по теоретической физике, в англосаксонских странах работают на факультетах прикладной математики.

В истории математики теоремы и их доказательства выдвинулись на первый план в начале XIX века. В это время в математике произошел очередной кризис. Рассуждения, проводимые в духе Эйлера и его коллег, стали систематически приводить к парадоксам. Стало ясно, что так жить дальше нельзя. Несколько поколений математиков предприняли грандиозную ревизию математического анализа. Они постепенно шли все дальше в глубь понятий, задумываясь над тем, что раньше не вызывало никаких вопросов.

Для поколения Эйлера не казалось важным провести четкое различие между непрерывной и дифференцируемой функцией и разработать понятие предела. Этим занялся в начале XIX века Коши и его коллеги. Следующее поколение математиков задумалось над тем, что такое площадь и объем — раньше это казалось очевидным. Первый этап этих раздумий был связан с работами великого немецкого математика Римана, а само понятие площади и объема было разработано французским математиком Жорданом (у самого Римана не хватило жизни для выполнения намеченной программы). Жордан обнаружил, что нужно доказывать, например, что замкнутая кривая разбивает плоскость на внешнюю и внутреннюю части, и доказал соответствующую — очень трудную — теорему.

Еще поколение спустя этот уровень исследования показался недостаточным и французский математик Лебег предложил более глубокое и совершенное понимание того, что такое объем и плошадь. В отличие от подхода Жордана, который, в общем, опирается на идеи школьной геометрии, подход Лебега очень абстрактный и его в полной мере изучают только тс, кто хочет стать математиком-профессионалом. Достаточно сказать, что построенное Лебегом понятие — оно называется "мера" — включает как частные случаи не только площадь и объем, но и, как показал наш великий соотечественник Колмогоров, вероятность. В это время стало ясно, что нужно точно описать само понятие множества, на котором так или иначе строятся все остальные понятия, выработанные этими математиками. Это сделал немецкий математик Кантор.

Казалось — еще усилие и грандиозное наведение порядка в математике будет закончено.