Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Но почему 17? Многие специалисты по цикадам (этих специалистов гораздо больше, чем вы думаете, и, буду с вами честен, они давно ведут по этому поводу жаркие споры, проявляя удивительную изобретательность в издевательствах над чужими гипотезами о периодичности цикад) говорят, что цикады считают под землей до семнадцати, потому что 17 – простое число. Например, если бы они появлялись на поверхности раз в 16 лет, то можно было бы вообразить хищника, который эволюционировал бы так, чтобы активно размножаться раз в 8, 4 и 2 года, чтобы у него при каждом появлении имелось достаточное количество пищи[253]. Однако ни одна голодная ящерица или птица не может синхронизироваться с большим восточным выводком[254], если только у нее самой не будет периода длиной в 17 лет[255].

Когда я говорю, что 7 (как 5, 17 или 2) не делится ни на что, я преувеличиваю: конечно же, 7 делится на 1 и на 7. Поэтому существуют два вида групп браслетов: группы по семь браслетов и группы по одному браслету. И в группе из одного браслета все камни должны быть одинаковыми, поскольку любой поворот оставляет браслет без изменений.

Таким образом, полностью опаловый и полностью жемчужный браслет – единственные две группы из одного браслета; остальные 126 браслетов разбиваются на группы по семь. Вот теперь все получается, потому что 126 / 7 = 18 групп.

Что, если мы перейдем к 11 камням? Общее количество браслетов вычисляется путем перемножения одиннадцати двоек, то есть равно 2¹¹ = 2048. Опять же, есть только два однородных браслета, а остальные 2046 распадаются на группы по 11; если быть точным, то таких групп 186. Вы можете продолжать аналогичным образом:

2¹³ = 8192 = 2 + 630 × 13;

2¹⁷ = 131 072 = 2 + 7710 × 17;

2¹⁹

 = 524 288 = 2 + 27594 × 19.

Заметили, что я пропустил 15? Я сделал это, во-первых, потому что оно составное, 15 = 3 × 5, а во-вторых, потому что оно не сработает! 2¹⁵ – 2 = 32 766, и это число не делится на 15 нацело. (Энтузиасты поворачивания браслетов могут самостоятельно проверить, что 32 768 браслетов можно разделить на 2 группы по одному браслету, 2 группы по три, 6 групп по пять и 2182 группы по пятнадцать браслетов).

Вы думаете, что мы дурачились с вращающимися браслетами? Но на самом деле мы использовали геометрию окружности и ее вращение, чтобы доказать факт о простых числах, который на первый взгляд совершенно не выглядит геометрическим. Геометрия скрыта повсюду, в самой сути вещей.

Наше наблюдение о простых числах – это не просто факт, а факт с именем: его называют малой теоремой Ферма в честь Пьера де Ферма – первого человека, который его записал[256]. Какое бы простое число n вы ни взяли, каким бы большим оно ни было, 2 в 

n-й степени будет на 2 больше, чем число, кратное n (при делении 2 в n-й степени на n получится остаток 2).

Ферма не был профессиональным математиком (во Франции XVII века таких людей практически не существовало). Провинциальный юрист, советник парламента в Тулузе, он жил вдали от центра событий в Париже и участвовал в научной жизни того времени в основном путем переписки со своими современниками-математиками. Впервые он сформулировал малую теорему в 1640 году[257]

в письме Бернару Френиклю де Бесси, с которым активно обменивался мнением о совершенных числах[258]. Ферма изложил теорему, но не привел ее доказательства, написав Френиклю, что включил бы его в письмо, «если бы оно не было таким длинным»[259]. Это классический прием Пьера де Ферма. Если вы слышали его имя, то, скорее всего, в связи не с малой теоремой, а с Великой (или Последней) теоремой Ферма, которая вообще была и не теоремой, и не последней в его жизни. Это было предположение о числах[260], записанное на полях экземпляра «Арифметики» Диофанта примерно в 1630-х годах. Ферма отмечал, что придумал поистине удивительное доказательство, но поля книги слишком малы, чтобы его вместить. В конце концов Великая теорема Ферма действительно оказалась теоремой, но это выяснилось только в 1990-х годах, когда Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор наконец завершили ее доказательство[261].