Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Мы не знаем, как полностью маркировать дерево шахмат буквами В, П и Н. Когда я говорю, что, возможно, никогда и не узнаем, я отнюдь не имею в виду, что у нас не хватит на это ума, а хочу сказать, что количество позиций, которые требуется промаркировать, насколько велико, что Вселенная может угаснуть раньше завершения этого процесса. Строго говоря, возможно, существует какой-нибудь способ избежать этой тягомотной канители с началом в листьях (в таком множестве листьев!) и возвратом к корню с расстановкой букв на этом пути, как произошло в «Игре с вычитанием» в реалити-шоу Survivor. Если игра начинается со 100 000 000 флагов, то вы, конечно, можете кропотливо идти с конца, расставляя буквы В и П, а можете применить теорему флагов, доказанную чуть выше. Поскольку 100 000 000 делится на 4, то теорема говорит нам, что второй игрок всегда может выиграть. И мы даже знаем как: если первый игрок возьмет один флаг, вы берете три; если он берет два, то и вы два. Если он возьмет один, то вам нужно взять три. Повторите это еще 24 999 999 раз и наслаждайтесь победой.

Я не могу доказать, что подобной простой выигрышной стратегии не существует для шахмат. Но это кажется маловероятным.

Тем не менее компьютеры играют в шахматы. И играют очень хорошо. Лучше, чем я, вы, Гарри Каспаров, мой кузен Закари, да и любой другой человек. Как они это делают, не маркируя все позиции в игре?

Причина в том, что машины нового поколения искусственного интеллекта даже не пытаются быть идеальными. Они действуют совершенно иначе. Чтобы объяснить это, нам нужно вернуться к простым числам.

Вспомните: система криптографии с открытым ключом, на которую всё опирается, зависит от двух больших простых чисел, используемых в качестве вашего личного ключа, причем «большие» означает «триста цифр или около того». Где их взять? В торговых центрах нет магазинов простых чисел. А если бы и были, то вряд ли вам захотелось бы покупать их в магазине, потому что весь смысл секретного ключа в том, что он не общедоступен (если вы, конечно, не реконструктор, занимающийся криптографией конфедератов).

Поэтому вам нужно генерировать собственные простые числа. Поначалу это кажется сложным. Если мне необходимо составное число из трехсот цифр, я знаю, что нужно делать: просто перемножать кучу небольших чисел, пока не доберусь до трех сотен цифр. Но простые числа – как раз те, которые не состоят из таких мелких строительных блоков. С чего вообще начинать?

Это один из вопросов, которые мне часто задают как преподавателю математики: «С чего же начинать?» Я всегда рад слышать такой вопрос независимо от того, насколько озадаченным выглядит ученик, ведь подобный вопрос – это возможность преподать один урок, суть которого состоит в следующем: не так важно то, с чего вы начинаете, как то, что вы уже начали. Пробуйте что-нибудь. Может не сработать. Тогда пробуйте что-нибудь еще. Учащиеся часто растут в мире, где просят решить математическую задачу по фиксированному алгоритму. Если вас попросят перемножить два трехзначных числа, то вы умножите первое число на последнюю цифру второго, запишете результат и т. д.

Реальная математика (как и настоящая жизнь) не имеет с этим ничего общего. Там сплошные пробы и ошибки. На этот метод часто смотрят свысока, вероятно из-за слова ошибка.

Но в математике не боятся ошибок. Ошибки – это отлично! Ошибка – это просто возможность проверить еще одну версию.

Итак, вам нужно трехсотзначное простое число. «С чего начать?» Со случайного выбора числа из трехсот цифр. «Откуда мне знать с какого?» Серьезно, это неважно. «Ладно, тогда как насчет единицы с тремястами нулями после нее?» Ну хорошо, не с этого, потому что оно явно четное, а четное число (за исключением 2) не может быть простым, потому что разлагается на множители – 2 и еще какое-то число. Это ошибка, переходим к следующей попытке. Возьмите другое число с тремя сотнями цифр, на этот раз нечетное.

Итак, теперь ваше число, насколько вы можете видеть, простое. По крайней мере вы не видите явных причин, почему это не так. Но как в этом убедиться? Можно махнуть топором разложения на множители и посмотреть, что будет. Делится на 2? Нет. А на 3? Нет. На 5? Нет. Прогресс наметился, но вы снова упираетесь в возраст Вселенной. На практике вы не сможете проверить таким способом, простое ли число, как не сможете решить шахматы, обозначив буквами В, П и Н все ветви шахматного дерева.

Существует способ лучше, но придется задействовать другую геометрию – геометрию окружности.

ОПАЛЫ И ЖЕМЧУЖИНЫ

Перед вами браслет: семь камней, расположенных по кругу, – несколько опалов и несколько жемчужин[250].

Вот еще три браслета.

А вот все браслеты с четырьмя камнями.