Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Играть с этой штукой весело и в каком-то смысле поучительно. Но я позволил себе ненадлежащее поведение, свойственное авторам статей о машинном обучении, – настойчиво выбирал фактики поинтереснее. Забавно делиться самыми эффектными и впечатляющими примерами! Это может ввести в заблуждение: Word2vec – вовсе не волшебная машина смыслов. Чаще всего предлагаемая аналогия – всего лишь синоним исходного слова (женский вариант для слова boring («скучный») – это uninteresting («неинтересный»); для слова mathematics («математика») – просто сокращение math; для amazing («поразительный») –

incredible («невероятный»); написание с орфографической ошибкой (женская версия слова vicious («порочный») – это viscious) или просто совсем неправильное слово: мужской вариант для duchess («герцогиня») – это prince («принц, князь»), женский для pig

(«свинья») – piglet («поросенок»), женский для cow («корова») – cows («коровы»), женская версия слова earl («граф») – это Georgiana Spencer (Джорджиана Спенсер), хотя правильное слово здесь –

countess («графиня»). Правда, тут нужно признать: Спенсер графиней была[334].

Читая о последних достижениях искусственного интеллекта, не относитесь к ним пренебрежительно: прогресс в этой области действительно впечатляет. Хотя есть вероятность, что то, что вы читаете в пресс-релизе, – наилучшие результаты из множества попыток. Поэтому сохраняйте и здоровую долю скептицизма.

Глава 9. Три года воскресений

Действительно важный и в каком-то смысле замалчиваемый факт о математике – она очень сложна. Иногда мы скрываем этот факт от учеников, полагая, что оказываем им услугу. Как раз наоборот. Будучи стажером у преподавателя Робина Уильямса, я научился у него одной простой вещи. Когда мы говорим, что этот урок легкий или простой, а это явно не так, мы даем учащимся понять, что проблемы не в математике, а в них. И они нам верят. К худу или к добру, но ученики доверяют учителям. «Если я не понял даже то, что было просто, – скажут они, – то зачем вообще утруждать себя попытками понять что-то сложное?»

Наши ученики боятся задавать вопросы в классе из-за опасений «выглядеть глупо». Если бы мы честно признались[335]

, насколько трудна и глубока математика, то даже та математика, которую изучают на уроках геометрии в старших классах, явно стала бы меньшей проблемой: мы оказались бы в классах, где задавать вопросы значило бы не «выглядеть глупо», а, наоборот, «выглядеть как человек, который хочет чему-то научиться». И это относится не только к слабым ученикам. Да, некоторые легко усваивают основные правила алгебраических операций или геометрических построений, но даже им следует задавать вопросы – учителям и себе. Например: я сделал то, что просил учитель, но что, если бы я попробовал сделать что-то другое, о чем учитель не спрашивал? И кстати, почему учитель просил то, а не иное? Нет такой интеллектуальной вершины, с которой вы не сможете увидеть какой-то пробел в знаниях, и именно туда и нужно направить усилия, если вы хотите учиться. Если урок математики легкий, значит, вы что-то делаете неправильно.

Что такое вообще сложность? Это одно из тех слов, которые, как нам кажется, мы хорошо знаем, но при попытках их описать они распадаются на связанные, но разные понятия. Мне нравится история, рассказанная специалистом по теории чисел Эндрю Грэнвиллом об алгебраисте Фрэнке Нельсоне Коуле[336].

На заседании Американского математического общества[337] в 1903 году Коул подошел к доске и, не говоря ни слова, вычислил величину 2⁶⁷ – 1 = 147 573 952 589 676 412 927. Затем на второй части доски он написал 193 707 721 × 761 838 257 287, перемножил эти числа и получил то же самое число. После этого он, по-прежнему не сказав ни слова, сел на свое место, а впоследствии признался, что разложение числа 2⁶⁷ – 1 на два множителя заняло у него «три года воскресений». Мораль этой истории в том, что, хотя Коулу потребовались огромные усилия и настойчивость, чтобы найти эти множители, ему не понадобилось много времени, чтобы продемонстрировать и обосновать свой результат в аудитории математиков (и доказать свою правоту). Таким образом, как мы видим, доказательство может быть коротким, даже если его поиск занял массу времени.

Одно дело – трудность в признании истинности какого-нибудь утверждения, и совсем другое – трудность в придумывании утверждения, истинность которого должна быть признана. Именно этому достижению аплодировала аудитория Коула. Мы уже видели, что поиск простых делителей для больших чисел – это сложная задача; однако число 147 573 952 589 676 412 927 по стандартам современной компьютерной техники вовсе не является большим. Я только что разложил его[338] на своем ноутбуке, и это заняло не целое воскресенье, а совершенно незаметный промежуток времени. Так сложна эта задача или нет?