Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Или рассмотрим проблему вычисления цифр числа π; когда-то это занятие считалось исследовательской математикой, но сейчас это всего лишь простые расчеты. Здесь появляется еще один вид трудности – трудность мотивации. Я не сомневаюсь, что моих технических умений вычислять хватит, чтобы вручную найти семь или восемь цифр π. Но мне было бы очень непросто заставить себя это сделать, потому что это скучно, потому что за меня это может сделать мой компьютер и (возможно, самое главное) потому что нет причин знать очень много цифр этого числа. Конечно, существуют ситуации, где понадобится семь-восемь цифр. Но сотая цифра? Сорока цифр уже вполне достаточно, чтобы вычислить длину окружности размером с нашу Галактику с точностью до размера протона.

Знать сто цифр числа π – вовсе не значит знать о кругах больше, чем другие люди. В числе π важно не его значение, а то, что оно само имеет большое значение. Значимым фактом будет то, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от ее размера и местоположения. Это факт о симметрии плоскости. Любую окружность можно преобразовать в другую с помощью так называемого подобия, состоящего из переносов, вращений и изменений масштаба. Подобие может менять расстояния, однако делает это путем умножения на фиксированную константу: возможно, все расстояния удваиваются, возможно, уменьшаются в десять раз, но в любом случае отношение между двумя длинами (скажем, длиной окружности и длиной ее диаметра) остается тем же. Если вы считаете две фигуры одинаковыми, когда их можно перевести друг в друга путем симметрий такого рода (называя разные вещи одним именем в стиле Пуанкаре), то в реальности существует всего одна окружность, а потому и только одно число π. Аналогично есть только один квадрат и, соответственно, только один ответ на вопрос «Каково отношение периметра квадрата к его диагонали?»

[339], и этот ответ равен удвоенному квадратному корню из 2, то есть примерно 2,828… и эту величину можно назвать числом π для квадрата. Точно так же есть только один правильный шестиугольник, и его π равно 3.

А вот у прямоугольника числа π нет, потому что существует не один прямоугольник, а много, отличающихся отношением между длинной и короткой сторонами.

Сложно ли сыграть идеальную партию в шашки? Для человека – да, но компьютерной программе «Чинук» вполне по силам. (Правильно ли ставить вопрос не о сложности, с которой сталкивается «Чинук» в игре, а о сложности, с которой столкнулись ученые при создании программы?) Как мы видели, задача игры в идеальные шашки, идеальные шахматы или идеальное го принципиально ничем не отличается от перемножения двух больших чисел. А разве в каком-то смысле это действие не концептуально простое? Мы точно знаем, что нужно сделать, чтобы проанализировать дерево игры, даже если в реальности нам не хватит на это времени жизни Вселенной.

Один простой ответ – сказать, что некоторые задачи, такие как разложение чисел на множители или игра го, просты для компьютеров и сложны для нас, потому что компьютеры лучше и умнее нас. Такой ответ неявно моделирует сложность в виде некоторой точки на прямой, где также можно расположить людей и компьютеры, при этом их положение определяется умением решать все задачи, размещенные левее.

Однако это неверно: геометрия сложности не одномерна. Существуют задачи – например, разложение больших чисел на множители, идеальная игра в шашки или хранение миллиардов слов с идеальной точностью, – с которыми компьютеры справляются гораздо, гораздо лучше нас. (Прежде всего, компьютеры не сталкиваются с проблемой мотивации: они делают – во всяком случае, на данный момент – то, что мы им говорим.) Но есть задачи, сложные для компьютеров и легкие для нас. Известный пример – проблема четности: стандартные архитектуры нейронных сетей очень плохо с ней справляются. Скажем, в строке из букв X и O четное или нечетное количество букв X? Трудности возникают и с экстраполяцией. Если вы приведете человеку кучу подобных примеров:

и спросите, что будет на выходе, если на входе 3,2, то он скажет: 3,2. То же самое выдаст и нейронная сеть, обученная на этих данных. А если на входе будет 10,0? Человек скажет 10,0. А вот нейронная сеть может ответить что угодно. Существует масса безумных правил, которые согласуются с формулой «вход = выход» в промежутке от 1 до 5, но ведут себя совершенно иначе вне этого диапазона. Человек знает, что «вход = выход» – это самый простой и естественный способ экстраполировать правило на более широкий класс возможных входных сигналов, а вот алгоритм машинного обучения[340] не знает. Вычислительные мощности у него есть, а понимания нет.