Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

У(день 2) = У(день 1) – 0,2 × И(день 1) × У(день 1) / 1 000 000 = 990 000 – 1980 = 988 020.

На второй день появилось 1980 новых зараженных, но при этом выздоровела десятая часть из тех, кто заражен в данный момент.

И(день 2) = И(день 1) + 0,2 × И(день 1) × У(день 1) / 1 000 000 – 0,1 × И(день 1) = 10 000 + 1980–1000 = 10 980.

Теперь мы знаем ситуацию на день 2; помещаем ее в машину и получаем прогноз на день 3.

У(день 3) = У(день 2) – 0,2 × И(день 2) × У(день 2) / 1 000 000 = 988 020 – 2169,69192 = 985 850,30808.

И(день 3) = И(день 2) + 0,2 × И(день 2) × У(день 2) / 1 000 000 – 0,1 × И(день 2) = 10 980 + 2169,69192 – 1098 = 12 051,69192.

Эти 69,192 % человека – хорошее напоминание о том, что мы имеем дело всего лишь с вероятностным прогнозом, наилучшим предположением, и не должны ожидать его правильности с точностью до последнего знака!

Вы можете продолжать эту процедуру сколько угодно. Число инфицированных людей день ото дня (округленно, потому что незачем тратить время на столько десятичных знаков) составит:

10 000, 10 980, 12 052, 13 223, 14 501…

Вы можете проверить, что это очень близко к геометрической прогрессии с ежедневным увеличением на 10 %. Но это не точная геометрическая прогрессия: темпы роста чуть-чуть ниже. Число 10 980 на 9,8 % больше, чем 10 000, однако 14 501 только на 9,7 % больше, чем 13 223. Это не ошибка округления, а эффект сокращения доли уязвимого населения, из-за чего у вируса уменьшаются возможности для распространения.

Вряд ли вас вдохновят целые страницы, исписанные числами У(день тот) и И(день этот); мне так точно не хочется их набирать. Именно для таких громоздких вычислений и предназначены компьютеры. С помощью нескольких строк кода вы получите прогноз на какое угодно количество дней. Я, например, получил такую картину:

Пик заражения приходится на 45-й день, когда инфицировано чуть более 16 % населения. В этот момент примерно 34 % населения уже выздоровело[399], а около половины все еще уязвимо. Таким образом, показатель R₀, который вначале был равен 2, уменьшился наполовину и теперь равен 1 – как раз тому пороговому значению, при котором заражение начинает снижаться. Хотя на приведенном графике это не совсем четко отражено, спад в таких моделях обычно не настолько крутой, как подъем: потребовалось 45 дней, чтобы добраться с 1 % инфицированных до пика, и 60 дней, чтобы спуститься с пика обратно до уровня в 1 % зараженных.

Сегодня ученые традиционно приписывают эту модель не Россу и Хадсон, а Кермаку и Маккендрику. Андерсон Маккендрик (адресат письма Росса об открытии двери в новую науку об эпидемиях) был, как и Росс, шотландским врачом со склонностью к математике; он работал с Россом в Сьерра-Леоне. Уильям Огилви Кермак – еще один врач шотландского происхождения, ослепший во время несчастного случая в лаборатории от едкой щелочи, – подобно Хадсон, обладал колоссальной геометрической интуицией.

Кермак никуда не ходил без своей тяжелой деревянной трости, постукивание которой было известно всем в лаборатории Королевского колледжа врачей в Эдинбурге, хотя иногда, когда ему было нужно, «он также имел привычку[400]

вешать трость на руку и появляться под руку с кем-нибудь из помощников – бесшумно и неожиданно, иногда доставляя неудобство». В своей статье 1927 года Кермак и Маккендрик ссылаются на предыдущие труды Росса и Хадсон, но их работа, помимо добавления новых идей, была написана проще, с более понятными обозначениями, и казалась более удобной для использования. Их система сегодня известна как SIR-модель, где Susceptible – здоровые восприимчивые (уязвимые) к инфекции люди (они обозначены буквой У); Infected – инфицированные (зараженные, они обозначены буквой И); Recovered – выздоровевшие люди, у которых на данный момент выработался иммунитет. В более сложных моделях используются и другие группы людей, и количество букв в названиях моделей, соответственно, увеличивается.