Как и надеялся Росс, математическая основа, которую он помог создать для изучения распространения болезней, оказалась полезной для понимания и других видов событий. Сегодня мы используем SIR-модели для многих заразных вещей, например твитов. В марте 2011 года землетрясение в регионе Т
Слухи весьма похожи на коронавирус. Вы не можете их передать, если предварительно не подверглись их воздействию и в какой-то степени не выработали иммунитет. Если вы уже познакомились со слухом и передали его, то последующие ваши встречи с ним вряд ли запустят новый виток распространения. Поэтому вполне логично, что исследователи в Токио обнаружили, что SIR-модель[401]
весьма неплохо справляется с моделированием распространения твитов со слухами о землетрясении. Вы можете считать параметромРазностные уравнения подходят не только для моделирования заболеваний. Они лежат в основе целого множества последовательностей, интересных с точки зрения математики. Любите арифметические прогрессии? Можете получить одну из них, предположив, что разность – это фиксированное число:
А(завтра) – А(сегодня) = 5,
и получите (если начнете с 1) последовательность 1, 6, 11, 16, 21…
Если хотите получить геометрическую прогрессию, нужно взять разность, которая пропорциональна текущему значению, скажем:
А(завтра) – А(сегодня) = 2 × А(сегодня),
что дает последовательность 1, 3, 9, 27, 81 и т. д., в которой каждый член втрое больше предыдущего. Вы можете взять любое разностное уравнение, какое захотите! Например, возможно, по каким-то причинам вам захотелось, чтобы разность была квадратом текущего значения:
А(завтра) – А(сегодня) = А(сегодня)2
,что приводит к весьма быстро растущей последовательности 1, 2, 6, 42, 1806… Такого рода прогрессии не были известны Платону, их гораздо больше знает «Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей» (OEIS), которая одновременно является важным исследовательским инструментом и невероятно успешным средством прокрастинации для всех известных мне математиков. Этот проект запустил математик Нил Слоун[402]
в 1965 году: сначала на перфокартах, затем в виде бумажной книги, а потом и онлайн. Вы можете задать машине список целых чисел, а она выдаст вам все, что математический мир знает о нем. Например, вышеприведенная последовательность – это последовательность A007018 в OEIS, и я узнал, что ееЕсли вы хотите несколько усовершенствовать модель (а при моделировании болезней с претензией на реализм, вероятно, так и есть), можно сделать так, чтобы разность между сегодняшней и завтрашней ситуацией зависела не только от произошедшего сегодня, но и от того, что происходило вчера. Попробуем так:
A(завтра) – A(сегодня) = A(вчера).
Чтобы начать вычисления, нам нужны данные за два первых дня. Если и сегодняшнее, и вчерашнее значение равно 1, то завтра будет 1 + 1 = 2. Еще через день A(сегодня) = 2, A(вчера) = 1, поэтому A(завтра) = 3. Эта последовательность продолжается так:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
где каждый член – сумма двух предыдущих. Это последовательность Фибоначчи, или A000045 в OEIS, и она настолько знаменита, что ей посвящен целый математический журнал.