Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального

Специалисты сходятся в одном: невозможно избежать самого ужасного сценария развития событий без тестирования – гораздо более масштабного, чем проводится сейчас. Чем больше тестов мы делаем, тем лучше знаем, как развивается COVID-19 и на какой стадии мы находимся.

Вот еще одна старая математическая задачка. У вас есть 16 золотых монет: 15 настоящих массой по 10 граммов и одна фальшивая, в которой всего 9 граммов. У вас есть весы, но каждое взвешивание стоит доллар. Как найти подделку с наименьшими затратами?

Безусловно, вы решите задачу, взвесив каждую монету и потратив при этом 16 долларов. На самом деле один доллар можно сэкономить: если вам все время не везло и вы 15 раз натыкались на честные монеты, то после 15 взвешиваний знаете, что оставшаяся монета – фальшивая. Так что незачем тратить больше 15 долларов.

Однако можно действовать разумнее. Разделите монеты на две группы по восемь в каждой и взвесьте первую группу: ее общий вес составит либо 80, либо 79 граммов. Теперь вы знаете, в какой группе находится фальшивка. Итак, вы сузили круг подозреваемых до восьми монет. Снова разделите их на две группы по четыре и взвесьте одну группу. В итоге вы сократили варианты до четырех (и заплатили при этом 2 доллара). Еще через два деления пополам вы гарантированно найдете фальшивую монету, при этом в общем потратите всего 4 доллара.

Как и во многих подобных головоломках, здесь используется какое-то дополнительное условие, чтобы придать задаче смысл: в реальной жизни взвешивание не стоит так дорого!

А вот биологические тесты – стоят, и это возвращает нас к инфекционным заболеваниям. Предположим, что вместо 16 монет у вас 16 новобранцев для армии и один отличается от остальных – только не весом, а тем, что болен сифилисом. Во время Второй мировой войны эта болезнь была серьезной проблемой: в 1941 году «Нью-Йорк Таймс» обвинила[392] «большую банду танковых проституток, обслуживавших солдат механизированных подразделений в придорожных закусочных и дансингах от Чикаго до обеих Дакот» в заражении тысяч солдат сифилисом и гонореей: «на свободе, без лечения, заразных и представляющих опасность для сограждан».

Вы можете выявить инфицированных, проведя анализ крови с помощью реакции Вассермана. Это вполне реально для 16 новобранцев, но совершенно неприемлемо для 16 тысяч. «Проверка отдельных участников большой популяции – дорогостоящий и утомительный процесс», – заметил Роберт Дорфман – известный профессор экономики из Гарварда, который в 1950-х и 1960-х годах первым применил математические модели к коммерческим задачам. Однако в 1942 году[393] он еще работал статистиком на государственной службе, шестью годами ранее окончив колледж, где решил сконцентрироваться на математике после того, как пришел к выводу, что у него нет будущего в первоначальном призвании – поэзии. Выше процитирована первая фраза его классической статьи «Обнаружение дефектных членов больших групп»

[394], в которой он вводит в эпидемиологию идею решения задачки о монетах. Вы не можете использовать в точности ту же стратегию, что работала для монет, ведь половина от 16 тысяч солдат – это все равно очень много! Однако предположим, говорит Дорфман, что вы разбиваете новобранцев на группы по пять человек, а затем смешиваете кровь членов каждой группы в сывороточный коктейль и проверяете его на сифилитический антиген. Отсутствие антигена означает, что вы можете сообщить всем пятерым, что они здоровы; в противном случае вызываете их и проверяете каждого по отдельности.

Насколько удачна такая идея, зависит от степени распространения сифилиса в популяции. Если заражена половина войск, то почти все сгруппированные пробы дадут положительный результат, и в итоге почти все участники пройдут тест дважды, что сделает обнаружение дефектных элементов еще более утомительным и дорогостоящим. Но если сифилисом заражены всего 2 % новобранцев? Вероятность, что данная выборка даст негативный результат, равна произведению вероятностей, что каждый солдат из проверяемой пятерки не болен сифилисом. Поэтому в нашем случае вероятность негативного результата в пятерке такова:

0,98 × 0,98 × 0,98 × 0,98 × 0,98 ≈ 0,90.

Если солдат 16 000, то получается 3200 групп; из них примерно 2880 будут чистыми, и для повторной проверки остается около 320 групп, то есть 1600 солдат. Их придется проверять по одному. В результате вы проведете тест 3200 + 1600 = 4800 раз, и это огромная экономия по сравнению с проверкой каждого из 16 000 человек! Причем вы можете даже улучшить метод: Дорфман определил, что при уровне заболеваемости в 2 % оптимальный размер групп – по 8 человек, что сводит задачу примерно к 4400 тестам.

Связь с коронавирусом очевидна: если у нас недостаточно тестов, чтобы проверить всех по одному, может быть, стоит взять мазок у 7–8 человек, объединить пробы в одном контейнере и протестировать их все разом?