Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Мы видим, что в рамках теории возмущений взаимодействие описывается не только членами g∑q̅⁰_uγ_utq⁰_uB^0μ_u,…, но и членами i(Z^-1_F-1)×∑q̅⁰_u∂q⁰_u и и.д. При этом поля q⁰_u, B⁰_u, ω⁰_u удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям для свободных полей и порождают набор фейнмановских правил диаграммной техники, которые приведены в приложении Г. Следует отметить, что оба члена лагранжиана ℒ^ξ_uD и ℒ^ξ_ctD требуют регуляризации; возникающие при этом бесконечности должны сокращаться так, чтобы лагранжиан ℒ^ξ_R при переходе к физическому пределу D→4 приводил к конечным выражениям. Далеко не очевидно, что существуют перенормировочные множители Z, удовлетворяющие этому требованию, и действительно (по крайней мере в рамках теории возмущений) далеко не все теории поля обладают свойством перенормируемости. Доказательство перенормируемости неабелевых калибровочных теорий, в частности квантовой хромодинамики, впервые было проведено т’ Хофтом [248]¹³⁾. В этой книге перенормируемость КХД не доказывается; мы лишь убедимся, что лагранжиан в низших порядках теории возмущений приводит к конечным результатам.

¹³ См. также работу [190]. Изложение современного состояния проблемы перенормировок а КХД можно найти а работе [114].

В рамках излагаемой здесь теории перенормировок, основывающейся главным образом на монографии Боголюбова и Ширкова [45], конечные (перенормированные) функции Грина выражаются через вакуумные средние вида

⟨0|Tq_u(x₁)…B_u(y₁)…ω_u(z₁)…|0⟩,

для вычисления которых по теории возмущений используется полный (содержащий и контрчлены) лагранжиан взаимодействий (8.11). Однако мультипликативный характер перенормировок допускает иной подход к рассматриваемой проблеме. Можно пренебречь контрчленами и просто переопределить поля и константы связи, фигурирующие в функциях Грина в соответствии с формулами (8.9). Более подробно это изложено в последующих параграфах. Следует также отметить, что проводимые здесь процедуры перенормировок выполняются в рамках теории возмущений. Это означает, что все вычисления должны проводиться самосогласованно в одном и том же порядке по константе взаимодействия как в первоначальных членах взаимодействия, так и в контрчленах.

§ 9. Перенормировка в КХД (однопетпевое приближение)

1. μ-перенормировка

Рассмотрим перенормированный лагранжиан квантовой хромодинамики. Для этого необходимо задать значения перенормировочных множителей Z. Начнем с определения неперенормированных функций Грина

G_uD(x₁,…,x_N),

которые вычисляются по неперенормированному лагранжиану ℒ^ξ_u. Функция G представляет собой вакуумное среднее от произведения полей

⟨TΦ

₁

(x

₁

)…Φ

_N

(x

_N

)⟩

₀

= G

_uD

(x

₁

,…,x

_N

),

(9.1)

где символы Φ_k соответствуют полям кварков q_u , ду́хов ω_u , глюонов B_u или в общем случае содержащим их локальным операторам. Используя теорию возмущений, функции Грина можно представить в виде следующего ряда:

G

_uD

(x

₁

,…,x

_N

)

=

_∞

∑

i

ⁿ

∫

d

⁴

z

₁

…d

⁴

_n

n!

ⁿ⁼⁰

×

⟨TΦ

₀

(x

₁

)…Φ

₀

(x

_N

)ℒ

_ξ

(z

₁

)…ℒ

_ξ

(z

₀

)⟩

₀

.

¹

^N

^uD,int

^uD,int

(9.2)

Вообще говоря, неперенормированные функции Грина G_uD расходятся в физическом пределе D→4. Перенормированные функции Грина определяются в виде

G

_R

(x

₁

,…,x

_N

)

=

_∞

∑

i

ⁿ

∫

d

⁴

z

₁

…d

⁴

_n

n!

ⁿ⁼⁰

×

⟨TΦ

₀

(x

₁

)…Φ

₀

(x

_N

)ℒ

_ξ

(z

₁

)…ℒ

_ξ

(z

₀

)⟩

₀

.

¹

^N

^R,int

^R,int

(9.3)

Потребуем, чтобы перенормированная функция G_R была конечной, т.е. чтобы контрчлены, содержащиеся в выражении (9.3), сокращали сингулярности, присутствующие в формуле (9.2). В случае квантовой хромодинамики имеется шесть различных перенормировочных множителей. Для их однозначного определения достаточно рассмотреть шесть независимых функций Грина. Независимость результата от выбора конкретных функций Грина, по которым фиксируются перенормировочные множители, является следствием тождеств Уорда - Славнова - Тейлора, которым эти функции подчиняются. Данное утверждение представляет собой нетривиальную часть перенормировочной процедуры. Здесь мы для определенности выберем конкретный набор функций Грина, необходимых для фиксации перенормировочных множителей. Все вычисления будем проводить в импульсном пространстве. Начнем с пропагатора кварков

S

_Rξ

(p)=i{

p

-m+Σ(p)}

^-1

,

Σ(p)=(p-m)A(p

²

)+mB(p

²

).

(9.4 а)

Выберем пространственноподобный импульс p̅, удовлетворяющий условию p̅²<0 ^13a). Тогда можно определить значения величин

^13aЭто позволяет избежать расходимостей функций Грина, возникающих при времениподобных импульсах p, удовлетворяющих условию p²≥m².

A

_ξR

(p̅

²

),B

_R

(p̅

²

),

(9.4 б)

первая из которых позволяет фиксировать множитель Z_F, а вторая — комбинацию из множителей Z_F, Z_m и Z_λ. Затем обратимся к рассмотрению глюонного пропагатора

D

_μν

^Rξ

(q)=(-q

²

g

^μν

+q

^μ

q

^ν

)D

_Rtr

(q)

+q

^μν

D

_RL

(q).

(9.5 а)

Для простоты рассмотрим случай q=p̅. Фиксируя значения

D

_Rtr

(p̅), D

_RL

(p̅),

(9.5 6)