Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

получим выражения для глюонного перенормировочного множителя Z_B и для комбинации Z_B и Z_λ. Рассмотрим пропагатор ду́хов^13b)

^13bВ дальнейшем везде, где это не вызвать недоразумений, индекс u мы будем опускать.

G

_R

(p)=

∫

d

⁴

xe

^-ip⋅x

⟨Tω(x)

ω

(0)⟩

₀

.

(9.6 а)

Выбирая p=p̅ и задавая величину

G

_R

(p̅),

(9.6 6)

фиксируем значение перенормировочного множителя ду́хов Z_ω. Рассмотрение любой из вершин qqВ, ВВВ, ВВВB или ωωqВ позволяет фиксировать зарядовый перенормировочный множитель Z_g. Выберем для этой цели первую из них. Если "усеченную" вершину V определить формулой

∫

d

⁴

xd

⁴

ye

^-ip₁⋅x

e

^-ip₂⋅x

⟨q

_k

(y)B

_a

(0)q̅

_j

(x)⟩

 

^β

^μ

^α

⁰

=

∑

D

_ab

(p

₂

-p

₁

)S

_ki

(p

₂

)V

_il;b,ν

(p

₁

,p

₂

)S

_lj

(p

₁

),

^μν

^βα'

^Rξ;α'β'

^β'α

V

_il;b,ν

it

_b

γ

_ν

+…,

^Rξ;α'β'

^il

^α'β'

(9.7 a)

то можно определить вершину V при p̅²=-μ², μ²>0:

V

 

 

^Rξ

p

²

₁

=p

²

₂

=(p

₁

-p

₂

)

²

=-μ

²

(9.7 б)

Как уже отмечалось, выполнение перенормировочной процедуры в значительной мере облегчается тем, что перенормированный лагранжиан ℒ^ξ_R можно подучить из "затравочного" лагранжиана ℒ^ξ_uD, проводя замену фигурирующих в нем полей по формулам (8.9). Для того чтобы вычислить любую функцию Грина, запишем ее в импульсном представлении и отсечем все внешние линии. При этом получим величину Γ(p₁,…p_N-1;m,g,λ), определяемую формулой

Γ(p

₁

,…p

_N-1

;m,g,λ)δ(∑p)

=K

₁

(p

₁

)…K

_N

(p

_N

)

∫

d

⁴

x

₁

…d

⁴

x

_N

e

^{i∑x_k⋅p_k}

×⟨TΦ

₁

(x

₁

)…Φ

_N

(x

_N

)⟩

₀

;

(9.8)

где K_k - обратные пропагаторы; для фермионных полей iK(p)=S^-1_R(p), для глюонных полей iK(p)=D^-1_R(p) и т.д.^13в). Вычислим неперенормированную функцию Грина

^13в Отсечение внешних линий устраняет связанные с ним полюса фейнмановских диаграмм. Так как пропагаторы S_R и D_R перенормированы, функция Грина содержит множитель Z^-½_Φ для каждой величины K_Φ, так что каждой полевой функции Φ возникает эффективный полевой множитель Z^½_Φ.

Γ_uD(p₁,…p_N-1;m,g,λ),

используя для этого лагранжиан ℒ^ξ_uD,int (выражение (9.2)). Тогда перенормированная функция Грина Γ_R получается из неперенормированной функции Грина Γ_uD:

Γ

_R

(p

₁

,…p

_N-1

;m,g,λ)

=Z

_-½

…Z

_-½

Γ

 

(p

 

,…,p

 

;Z

_m

m,Z

_g

g,Z

_λ

λ).

^Φ₁

^Φ_N

^uD

¹

^N-1

(9.9)

Это выражение приобретает более прозрачный смысл, если ввести следующие обозначения для затравочных параметров ¹⁴⁾.

¹⁴ Массы и капибровочный параметр иногда удобно рассматривать как некоторые константы связи.

m

_uqD

=Z

_mq

m

_q

,

λ

_uD

=Z

_λ

λ,

g

_uD

=Z

_g

;

(9.10)

тогда выражение (9.9) принимает вид

Γ

_R

(p

₁

,…p

_N-1

;m,g,λ)

=Z

_-½

…Z

_-½

Γ

 

(p

 

,…,p

 

;m

_uD

,g

_uD

,λ

_uD

).

^Φ₁

^Φ_N

^uD

¹

^N-1

(9.11)

Для того чтобы проиллюстрировать, как работает описанная процедура, рассмотрим пропагатор кварка. Согласно общему рецепту, с учетом обозначения α_g≡g²/(4π) можно записать следующее соотношение между перенормированным и неперенормированным пропагаторами:

S

_R

(p; g

_R

, m

_R

, λ

_R

) = Z

_½

Z

_½

S

 

(p; Z

_g

g, Z

_m

m, Z

_λ

λ).

^F

^F

^uD

Все вычисления будут проводиться во втором порядке теории возмущений. Поэтому множители Z_g и Z_λ можно заменить на единицу, так как возникающие при этом поправки будут иметь более высокий порядок малости по константе связи α_g. Используя формулы {7.4), (7.5), получаем выражение для пропагатора кварка

S

_R

(p; g,m,α)=Z

_-1

i

 =iZ

_-1

1-C

_F

g

²

A

_Dε

(p

₂

)

.

^F

(

p

- Z

_m

m)

^F

p

- Z

_m

m{1-C

_F

g

²

B

_Dε

(p

₂

)}

Как отмечалось выше, для того чтобы определить перенормировочный множитель Z, нужно задать значение кваркового пропагатора S_R при некотором заданном 4-импульсе p=p̅.. Потребуем, чтобы в этой точке перенормированный пропагатор S_R совпадал с пропагатором свободной частицы

S

 

(p̅; q,m,α) =

i

.

^R

p

̅ - m

(9.12)

Таким образом, находим, что при р̅²=-μ² перенормировочный множитель Z_F имеет вид

Z

_F

≡

Z

_ξ

(μ

²

,m

²

)

 

^FD

=

1

 

-

 

C

_F

α

_g

{

(1-ξ)N

_ε

-1-

∫

¹

dx[2(1-x)-ξ]

4π

₀

×

log

xm

²

+x(1-x)μ

²

+ξ(μ

²

+m

²

)

∫

¹

dx

x

}

,

ν

²

⁰

₀

m

²

+μ

²

x

(9.13)

Z

_m

≡

Z

_m

(μ

²

,m

²

)

=

1-C

_F

α

_g

{

3N

_ε

-1-2

∫

¹

dx(1+x)log

xm

²

+x(1-x)μ

²

4π

₀

ν

²

₀

+

ξ(μ

²

+m

²

)

∫

¹

dx

x

}

.

₀

m

²

+μ

²

x

(9.14)

Нужно подчеркнуть следующий важный факт: в то время как расходящаяся часть перенормировочного множителя Z_F зависит от калибровки, расходящаяся часть множителя Z_m калибровочно-независима, хотя в рамках данной схемы конечная часть перенормировочного множителя Z_m все еще зависит от калибровки. Калибровочная зависимость множителя Z_F означает, что можно выбрать такую калибровку, в которой этот множитель конечен. Из выражения (9.13) видно, что во втором порядке теории возмущений фермионный перенормировочный множитель Z_F конечен в калибровке Ландау, когда ξ=1^14a)

^14a Калибровка Ландау удобна а теории, описывающей базмассовые частицы. В этой калибровке на только перенормировочный множитель Z_F конечен, но и массовый оператор Σ⁽²⁾ равен нулю.