Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

(22.8 б)

В случае безмассовых кварков и глюонов выражения (22.8) оказываются расходящимися, и их следует регуляризовать. Для этого можно использовать размерную регуляризацию, но проще считать исходный кварк виртуальным: p²_ƒ=-μ². Благодаря компактности области интегрирования при этом может возникнуть только логарифмически расходящийся член, который, как будет показано ниже, имеет вид log (Q²/p²_ƒ). На самом деле, только этот логарифмический член нас и интересует; это существенно облегчает вычисления.

Прежде всего в выражениях (22.8) всюду, за исключением знаменателя, можно положить p²_ƒ=0; поправки будут иметь величину O(μ²/Q²). Таким образом, получаем

⎛

⎜

⎝

-g

_αβ

+

k_αu_β+k_βu_α

k⋅u

⎞

⎟

⎠

Tr(

p

_ƒ

-

k

)γ

^μ

(

p

_ƒ

-

k

+

q

)γ

^ν

(

p

_ƒ

-

k

)γ

^β

p

_ƒ

γ

^α

=

-2(p

_ƒ

-k)²

⎧

⎨

⎩

Trγ

^μ

(

p

_ƒ

-

k

+

q

)γ

^ν

k

+Trγ

^μ

(

p

_ƒ

-

k

+

q

)γ

^ν

×

[(p⋅u)(

p

_ƒ

-

k

)+(p

_ƒ

-k)⋅u

p

+2k⋅

p

_ƒ

u

]

1

u⋅k

⎫

⎬

⎭

.

Так как p²_ƒ=k²=0, выполняется равенство 2kp_ƒ=-(p_ƒ-k)². Следовательно, последний член в полученном уравнении пропорционален (p_ƒ-k)⁴ и не дает вклада в логарифмический член. Используя обозначения ^log₌ , которое означает, что логарифмические члены в левой и правой частях уравнения равны, получаем

Φ

^μν

_log

=

 

-2

∫

𝑑^⃗k

2k⁰

δ

₊

[(p

_ƒ

-k+q)²]

1

(p_ƒ-k)²

×

Tr{γ

^μ

(

p

_ƒ

-

k

+

q

)γ

^ν

k

+μ

^ν

(

p

_ƒ

-

k

+

q

)γ

^ν

×

[(

p

_ƒ

-

k

)(p

_ƒ

⋅u/k⋅u)+

p

_ƒ

[(p

_ƒ

-k)⋅/k⋅u]]} .

(22.9)

Запишем теперь знаменатель выражения (22.9) в виде

(p

_ƒ

-k)²=-μ-2k

⁰

p

₀

^ƒ

2k

³

p

₃

^ƒ

cos θ

Он обращается в нуль только при условии cos θ=1, т.е. в случае коллинеарности векторов k и p_ƒ . (Это условие определяет также глюоны, приводящие к поправкам к явлению скейлинга.) Таким образом, во всех других случаях можно положить cos θ=1, так что, в частности, δ-функция в выражении (22.9) принимает вид

δ[(p

_ƒ

-k+q)²]

=δ(2ν-Q²-2Qk

⁰

=δ

⎡

⎢

⎣

2ν

⎛

⎜

⎝

1-x-

Qk⁰

ν

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

Удобно ввести обозначение

1-

Qk⁰

ν

≡

ρ ,

(22.10)

и записать δ-функцию в виде.

δ[(p

_ƒ

-k+q)²]

=

1

2ν

δ(ρ-x) .

Кроме того, мы видим, что в случае cos θ=1 выполнено условие

k

_θ=0,π

=

(1-ρ)p

_ƒ

Теперь легко завершить вычисление выражений (22.8):

Φ

^μν

_log

=

 

-2π

∫

⁺¹

 

_-1

𝑑cosθ

∫

^∞

 

₀

𝑑k⁰⋅k⁰

2

⋅

1

ν

δ(ρ-x)

1+ρ²

1-ρ

×

Trγ^μ(ρp_ƒ+q)γ^νp_ƒ

 

 

2k⁰p

₀

^ƒ cosθ-(μ²+2k⁰p

₀

^ƒ )

_log

=

 

⎛

⎜

⎝

log

Q²

μ²

⎞

⎟

⎠

π

2ν

∫

𝑑ρ

1+ρ²

1-ρ

Tr{γ

^μ

(ρ

p

_ƒ

+

q

)γ

^ν

p

_ƒ

}δ(x-ρ) .

Таким образом, для структурной функции ƒ₂ получаем следуюший результат (обозначения очевидны):

w

₂

=4C

_F

g²

16π²

∫

𝑑ρ

1+ρ²

1-ρ

ρδ(x-ρ)log

Q²

μ²

(22.11)

Выражение (22.11) не дает окончательного ответа, так как оно не определено при ρ=1. Эта неопределенность обусловлена глюонами нулевой энергии, которые приводят к характерной инфракрасной расходимости. В действительности можно убедиться в том, что эта расходимость точно сокращается радиационными поправками к вершине и пропагатору, которые мы еще не приняли во внимание. Так как реальный глюон при этом не испускается, вклад таких поправок в выражение для w₂ должен быть аналогичен (22.11) с точностью до замены (1+ρ²)/(1-ρ) на λδ(ρ-1). Суммируя все члены, получаем

w

₂

=

C₂(F)α_glog Q²/μ²

π

∫

𝑑ρ ρδ(x-ρ)

⎧

⎨

⎩

1+ρ²

1-ρ

+λδ(1-ρ)

⎫

⎬

⎭

.

(22.12)

Таким образом, определена искомая поправка к уравнению (22.7), которая имеет вид^36в)

^36в) В выражениях (22.1За), (22.136) уже учтено правильное значение параметра λ.

q

_ƒ

(x,t)

=

∫

¹

 

₀

𝑑y

∫

¹

 

₀

𝑑z δ(zy-1)q

_ƒ

(y,t)

⎧

⎨

⎩

δ(z-1)+

α_gt

4π

P

₍₀₎

^NS

(z)

⎫

⎬

⎭

,

P

₍₀₎

^NS

=

C

_F

⎧

⎨

⎩

3δ(1-z)-2

1+z²

(1-z)₊

⎫

⎬

⎭

,

(22.13 а)

где для любой функции φ введено определение

∫

¹

 

₀

𝑑z

1

(1-z)₊

≡

∫

¹

 

₀

𝑑z

φ(z)-φ(1)

1-z

(22.13 б)

Заметим, что если эти коэффициенты P⁽⁰⁾_NS идентифицировать с получеными ранее коэффициентами, то можно проверить, что они действительно удовлетворяют уравнению (22.4). Именно благодаря этому нет необходимости вычислять коэффициент λ при δ(ρ-1); он непосредственно фиксируется условием γ⁽⁰⁾_NS=1 (или условием det γ⁽⁰⁾(2)=0 для синглетного случая).

Теперь можно сравнить выражения (22.13) и (22.5). Фактически достаточно считать константу g определенной в точке - μ² и заменить переменную t дифференциалом 𝑑t, чтобы записать выражения (22.13) в инфинитезимальном виде.

Рис. 18. Лестничная диаграмма для несинглетного или фермионного рассеяния.