Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Но существует и более интересный метод. Предположим, что может быть действительно испущено произвольное число глюонов. Тогда нужно просуммировать все диаграммы, содержащие глюон в конечном состоянии. Эта задача, конечно, неразрешима. Но она сильно упрощается, если ограничиться рассмотрением только ведущих логарифмических членов. Можно показать [155], что в этом случае дают вклад только лестничные диаграммы (рис. 18). Оказывается, что эти диаграммы можно вычислить и даже просуммировать. Таким образом, мы воспроизведем результаты стандартных вычислений, получив при этом два преимущества. Во-первых, очевидно, что использование ведущего приближения по бегущей константе связи эквивалентно суммированию всех ведущих логарифмических членов по константе α_g: αⁿ_g logⁿ(Q²/μ²). Во-вторых, такое рассмотрение дает некоторые указания, как рассчитывать те процессы, для которых метод операторного разложения неприменим. Мы не будем углубляться в изучение этого вопроса, а сошлемся на книгу [226] и цитированную в ней литературу.

Во втором порядке теории возмущений ядра рассмотренных уравнений были вычислены в работах [84, 131].

Метод Алтарелли — Паризи позволяет представить структурные функции для различных процессов в виде сумм "плотностей распределения кварков" q(x,Q²), описывающих распределение кварков аромата q. Для упрощения последующих ссылок ниже приводятся выражения для структурных функций некоторых наиболее важных процессов. Обозначим через I изоскалярную мишень, а через p - протонную мишень. Тогда имеем

ƒ

_F

^2ep

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

2

9

x(u+

u

+d+

d

+s+

s

),

 n

_ƒ

=3

5

18

x(u+

u

+d+

d

+s+

s

+c+

c

),

 n

_ƒ

=4

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

ƒ

_NS

^2ep

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

1

6

x

⎛

⎜

⎝

2

3

u-

1

3

d-

1

3

s+

2

3

u

-

1

3

d

1

3

s

⎞

⎟

⎠

, n

_ƒ

=3

1

6

x(u-d-s+

u

-

d

-

s

+c+

c

),

 n

_ƒ

=4

(22.14 а)

ƒ

_F

^2eI

=ƒ

_F

^2ep

; ƒ

_NS

^2eI

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

1

18

x(u+

u

+d+

d

-2s-2

s

), n

_ƒ

=3

1

6

x(c-s+

c

-

s

), n

_ƒ

=4.

(22.14 б)

ƒ

_NS

^2νI

=0, ƒ

_2νI

=ƒ

_F

^2νI

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

9

2

ƒ

_F

^2ep

, n

_ƒ

=3

18

5

ƒ

_F

^2ep

, n

_ƒ

=4.

(22.14 в)

ƒ

_F

^3νI

=0, ƒ

_3νI

=ƒ

_NS

^3νI

=

⎧

⎨

⎩

x(u-

u

+d-

d

+s-

s

), n

_ƒ

=3

x(u-

u

+d-

d

+s-

s

+c-

c

), n

_ƒ

=4.

(22.14 г)

Некоторые из этих результатов уже были получены выше. Кроме того, можно ввести понятия распределения "валентных" кварков q_v (определив его как избыток числа кварков по сравнению с числом антикварков; для протона ∫¹₀𝑑xu_v=2, ∫¹₀𝑑xd_v=1 и "моря" остальных кварков и т.д. Подробное изложение этого круга вопросов можно найти в обзорах [11, 55].

§ 23. Общие свойства структурных функций а КХД

1. Правила сумм

Как уже неоднократно утверждалось, матричные элементы операторов Aⁿ вообще говоря, вычислить не удается. Но в некоторых случаях соответствующие составные операторы оказываются связанными с генераторами той или иной группы симметрии. Тогда они представляют собой физически наблюдаемые величины, и их матричные элементы, по крайней мере в принципе, можно измерить. Как обсуждалось в § 13, такие операторы не требуют проведения перенормировок, а их аномальные размерности равны нулю. Следовательно, в пределе Q²→∞ матричные элементы оператора Aⁿ можно вычислить в модели свободных кварков — партонов³⁸⁾.

³⁸⁾ В общем случае необходимо перейти к пределу Q¹→2 для устранения имеющейся в вильсоновских коэффициентах остаточной зависимости от взаимодействия кваркое и глюонов.

Такими свойствами обладают несинглетные операторы при n=1 и синглетные операторы при n=2. Других операторов с указанными свойствами не существует, так как аномальные размерности γ_NS (и собственные значения матрицу) обращаются в нуль только для приведенных значений n. Поэтому, по крайней мере в принципе, можно вычислить абсолютные значения (а не только зависимость от переменной Q²) интегралов

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^-1

ƒ

_NS

(x,Q²),

∫

¹

 

₀

𝑑x

^⃗

ƒ(x,Q²).

(23.1)

Это оказывается практически осуществимым только в некоторых довольно редких случаях, когда интегралы (23.1) удается связать с наблюдаемыми величинами, о которых имеются экспериментальные данные. При этом возникают правила сумм, многие из которых уже были открыты с помощью партонной модели. Эти правила сумм в рамках квантовой хромодинамики получили статус точных утверждений. Здесь мы рассмотрим некоторые типичные примеры.

Начнем с рассмотрения несинглетного случая. Для структурных функций ƒ^NS_2,3 соответствующие операторы при n=1 представляют собой комбинации величин

N

_α±

^NSμ

=½i:

q

λ

^α

γ

_ν

(1±γ

₅

)q:,

которые в действительности генерируют преобразования киральной симметрии (§ 10). Как и ожидалось, аномальные размерности этих операторов равны нулю: γ⁽⁰⁾_NS(1)=γ^(1)-_NS(0). Для процессов электророждения с участием кварков трех ароматов u, d и s (в случае кварков четырех ароматов разбиение несколько изменяется), используя сокращенные обозначения, получаем

iTJ

_μ

^em

(z)J

_ν

^em

(0)

⎪

⎪

_NS

^pμpν;n=1

 

=

^z²→0

1

3

C

₁

^2NS

(z²)J

_em

(0) ,

или точнее

1

i

A

₁

^2NS

P

^μ

=⟨p|J

_μ

^em

(0)|p⟩=2(2π)

^-3

p

^ν

Q

_N

,

где Q_N - заряд мишени в долях заряда электрона. Таким образом, учитывая поправки второго порядка теории возмущений, получаем

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^-1

ƒ

_NS

²

(x,Q²)=

1

3

Q

_N

⎧

⎨

⎩

1+

13+8ζ(3)-π²

33-2n_ƒ

⋅

α_s(Q²)

3π

⎫

⎬