Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

⎭

.

(23.2)

Аналогично в случае рассеяния нейтрино правило сумм Адлера справедливо при любых значениях квадрата 4-импульса Q² :

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^-1

{ƒ

_μp

²

-ƒ

_νp

²

}=2.

(23.3)

Соответствующим оператором здесь является оператор изоспина.

Поправок к уравнению (23.3) не возникает, так как его можно связать с одновременным коммутатором алгебры токов (см. § 10 и работу [6]). В процессах электророждения благодаря четности структурной функции ƒ₂ соответствующие поправки приводят к неравенству γ⁽¹⁾⁺_NS≠0. Обсуждение этого вопроса см. в статье [194].

Структурная функция ƒ₃ удовлетворяет правилу сумм Гросса-Лавеллин-Смита [158]

∫

¹

 

₀

𝑑x x

^-1

ƒ

_νI

³

(x,Q²)=3

⎧

⎨

⎩

1+

α_s(Q²)

π

+O(α

₂

^s

)

⎫

⎬

⎭

.

(23.4)

Другие правила сумм, которым удовлетворяют несинглетные структурные функции, можно найти в обзоре [55] (см. также [27]).

Обратимся теперь к синглетным структурным функциям. В этом случае сохраняющиеся операторы отвечают значению n=2. Этот факт находит свое отражение в равенствах det γ⁽⁰⁾(2)=det γ⁽¹⁾(2)=0. Поскольку синглетные структурные функции всегда четные, нет необходимости различать величины γ⁽¹⁾⁺ и γ^(1)- , так как всюду входит только одна из них γ⁽¹⁾⁺≡γ⁽¹⁾. В самом деле [149],

γ

⁽⁰⁾

(2)

=

1

9

⎛

⎜

⎝

64

-12n

_ƒ

-64

12n

_ƒ

⎞

⎟

⎠

,

(23.5 а)

γ

⁽¹⁾

(2)

=

1

243

⎛

⎜

⎝

65[367-39n

_ƒ

]

-3666n

_ƒ

-64[367-39n

_ƒ

]

3666n

_ƒ

⎞

⎟

⎠

.

(23.5 б)

Нормировка функции ƒ_V априори произвольна; выберем ее таким образом, чтобы собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению матрицы γ, был в точности равен сумме. Сохраняющимся оператором является тензор энергии-импульса (см. (10.2))

Θ

^μν

=i

 

∑

^ƒ

q

_ƒ

γ

^μ

D

^ν

q

_ƒ

+

g

_αβ

G

^μα

G

^βν

-g

^μν

ℒ.

Член g^μνℒ приводит к вкладам величины O(M²/Q²), которыми в данном случае можно пренебречь. Таким образом, находим

∫

¹

 

₀

𝑑x {ƒ

_F

²

(x,Q²)+ƒ

_V

²

(x,Q²)}=δ

⎧

⎨

⎩

1+c

₂

α_s(Q²)

π

+O(α

₂

^s

)

⎫

⎬

⎭

,

(23.6)

где параметры δ и c₂ зависят от типа рассматриваемого процесса. В процессах электророждения

δ

^ep

=⟨Q

₂

^ƒ

⟩, c

₂

=-5/9,

где ⟨Q²_ƒ⟩ — средний заряд возбуждаемых кварков различных ароматов. Для процессов νI и νp-рассеяния параметр δ принимает значения

δ

^νI

=1, δ

^νp

=2/3.

В действительности в пределе Q²→∞ можно вычислить интегралы отдельно для каждой из функций ƒⁱ₂ , i=1, 2. Это обусловлено тем, что при n=2

d

₊

(2)=0, d

_-

(2)=

2

3

⋅

16+3n_ƒ

33-2n_ƒ

>0 .

Следовательно, в ведущем порядке по константе связи α_s можно написать (матрица S определена в (21.12))

^⃗

μ(2,Q²)

 

=

^Q²→∞

S

(2)

^⃗

b(2),

^⃗

b(2)=b

⎛

⎜

⎝

1

0

⎞

⎟

⎠

с некоторым коэффициентом, не зависящим от квадрата 4-импульса Q² . Таким образом,

∫

¹

 

₀

𝑑x ƒ

_F

²

(x,Q²)

 

=

^Q²→∞

δ

3n_ƒ

16+3n_ƒ

,

∫

¹

 

₀

𝑑x ƒ

_V

²

(x,Q²)

 

=

^Q²→∞

δ

16n_ƒ

16+3n_ƒ

.

(23.7)

К сожалению, поправки к (23.7) имеют вид

K[α

_s

(Q²)]

^-d_-(2)

где коэффициент K пока вычислить не удается. (Но поправки порядка O(α_s) к выражениям (23.7) известны; см., например, [194].) Выражения (23.7) принадлежат к числу тех, которые явно демонстрируют существование глюонов. Если бы глюонов не существовало, то весь импульс адрона распределялся бы между кварками и был бы справедлив результат

∫

¹

 

₀

𝑑x ƒ

_F

²

(x,Q²)≈δ ,

который, скажем, для кварков четырех ароматов n_ƒ=4 вдвое превышает экспериментальное значение. Например, для процесса νI-рассеяния [87] получено значение

∫

¹

 

₀

𝑑x ƒ

_exp

²

(x,Q²)≈0.43±0.03, (Q²≈ от 30 до 100 ГэВ²),

а теоретически вычисленное (с учетом глюонного вклада) значение равно^38а)

^38а) Заметим, что нейтрино ν или электроны (мюоны) e (μ), используемые в качестве пробных частиц, взаимодействуют только с кварками и позволяют экспериментально определить только структурную функцию ƒ^F. Для непосредственного измерения структурной функции ƒ^V необходимы пробные частицы, взаимодействующие с глюонами.

∫

¹

 

₀

𝑑x ƒ

_th

²

(x,Q²)≈

12

28

=0.43.

Анализ этих соотношений в ведущем порядке теории возмущений был выполнен в работе [162], хотя импульсные правила сумм (только на кварковом уровне) обсуждались уже в обзоре [193].

2. Поведение структурных функций в крайних точках

Начнем с рассмотрения поведения несинглетных структурных функций в пределе x→1. Предположим, что функции ƒ^NS обладают асимптотическим поведением вида

ƒ

^NS

(x,Q²)

 

≈

^x→1

A(Q²)(1-x)

^ν(α_s)

,

(23.8)

к которому могут существовать логарифмические поправки (см. ниже). В действительности соотношение (23.8) можно доказать в рамках квантовой хромодинамики, но мы не будем делать этого здесь ^38б). Исходя из общих соображений, следует ожидать, что поведение структурных функций в пределе x→1 связано с поведением моментов от структурных функций при больших значениях n. Легко убедиться, что

^38б) См. работу [54] и цитируемую там литуратуру.

d(n)

 

≈

^x→∞

-16

33-2n_ƒ

⎛

⎜

⎝

log n-

3

4

+γ

_E

+O

⎛

⎜

⎝

1

n

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

.

(23.9)

Используя асимптотику (23.8), для моментов получаем выражение

μ

_NS

(n,Q²)

 

≈

^n→∞

A(Q²)

Γ(n-1)Γ[1+ν(α_s)]

Γ[n+ν(α_s)]

,

а из соотношений (23.9) и (20.6) для отношения моментов находим

μ

_NS

(n,Q

₂

 

)

μ_NS(n,Q

₂

⁰ )

 

≈

^n→∞

exp

⎧

⎨

⎩

⎡

⎢

⎣

log

α

_s

(Q

₂

 

)

α_s(Q

₂

⁰ )

⎤

⎥

⎦

16

33-2n_ƒ

⎛

⎜

⎝

log n-

3

4

+γ

_E

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

.