Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Приравнивая результаты, находим точный вид коэффициентов A и ν и выражения для асимптотики структурной функции в пределе x→1:

ƒ

^NS

(x,Q²)

 

≈

^x→1

A

_0NS

[α

_s

(Q²)]

^-d₀

(1-x)^ν_NS(α_s)

Γ[1+ν_NS(α_s)]

(23.10 а)

ν

_NS

(α

_s

)

=

ν

_NS0

-

16

33-2n_ƒ

log α

_s

(Q²) ,

d

₀

=

16

33-2n_ƒ

⎛

⎜

⎝

3

4

-γ

_E

⎞

⎟

⎠

.

(23.10 б)

Константы ν₀ и A_0NS теоретически рассчитать не удается, но ожидаемое значение параметра ν_0NS лежит в пределах от 2 до 3 [122].

Для синглетного случая вычисления усложняются из-за матричного характера уравнений. Было найдено, что асимптотическое поведение структурных функций для глюонов отличается от (23.8), но асимптотики структурных функций для кварков сходны с асимптотиками несинглетных структурных функций (см. работы [194, 199], в которых содержатся также вычисления во втором порядке теории возмущений). Эти асимптотики имеют вид

ƒ

^F

(x,Q²)

 

≈

^x→1

A

_0S

[α

_s

(Q²)]

^-d₀

(1-x)^ν_S(α_s)

Γ[1+ν_s(α_s)]

,

(23.11)

ƒ

^V

(x,Q²)

 

≈

^x→1

2

5

A

_0S

[α

_s

(Q²)]

^-d₀

(1-x)^ν_S(α_s)+1

Γ(2+ν_S(α_s))|log(1-x)|

.

(23.12)

Здесь d₀ определяется формулой (23.10 б), а параметр ν_S выражается такой же формулой, как ν_NS :

ν

_S

(α

_s

)=ν

_0S

-

16

33-2n_ƒ

log α

_s

(Q²) .

Коэффициенты A_0S и ν_0S в рамках теории возмущений КХД получить нельзя. Можно утверждать следующее: во-первых, глюонные структурные функции в пределе x→1 стремятся к нулю быстрее, чем синглетные структурные функции кварков, и, во-вторых, все структурные функции быстро убывают в пределе x→1 при Q²→∞. Эти выводы подтверждаются всеми экспериментальными данными.

Поправки второго порядка теории возмущений несколько изменяют функциональный вид асимптотик структурных функций в пределе x→1. Например, для несинглетных структурных функций с учетом поправок второго порядка получаем [150]

ƒ

^NS

(x,Q²)

 

≈

^x→1

A

_0NS

[α

_s

(Q

²

)]

^-d₀

e^{a(α_s)α_s(Q²)}

Γ[1+ν_1NS(α_s)]

×

(1-x)

^{ν_1NS(α_s)+2α_s[log(1-x)]/3π}

(23.13)

Здесь коэффициенты ν_NS и a имеют вид

ν

_1NS

(α

_s

)

=

ν

_NS

(α

_s

)-ψ(ν

_NS

(α

_s

)+1)

4α_s(Q²)

3π

-a

₁

α

_s

(Q²),

a(α

_s

)

=

a

₀

+a

₁

ψ(ν

_NS

(α

_s

+1)

+

2

3π

{[ψ(ν

_NS

(α

_s

)+1)]²-ψ'(ν

_NS

(α

_s

)+1)},

a

₀

≈1.18, a

₁

≈0.66 .

Интересно отметить, что благодаря члену

(1-x)

^{2α_s[log(1-x)]/3π}

(23.14)

поправки можно сделать сколь угодно большими, взяв значение переменной x достаточно близким к единице. Конечно, это означает лишь, что при x→1 как и ожидалось, теория возмущений становится неприменимой. При x=1 возникает необходимость учета связанных состояний (упругий вклад в процесс γ^*+N→all, обусловленный реакцией γ^*+N→N). В действительности существуют и другие причины, по которым рассмотрение на основе теории возмущений становится неприменимым, когда переменная x близка к единице. Из выражения (23.14) видно, что формула (23.13) применима только при промежуточных значениях переменной x :

1-x ≪ 1, но

2α_s

3π

|log(1-x)| ≪ 1.

(23.15)

Асимптотическое поведение структурных функций в пределе x→1 (или n→∞) вычислено во всех порядках по доминирующим членам вида (α_slog n)ⁿ [15, 71]. С точностью до замены A_0NS→A_0S, ν_1NS→_1S синглетная функция распределения кварков имеет вид, аналогичный (23.13).

Обратимся к рассмотрению поведения структурных функций при x≈0. При изучении поведения структурных функций в пределе x→0 квадрату 4-импульса Q² необходимо приписывать большое фиксированное значение, при котором оправданно применение теории возмущений, и положить ν→∞. В этих условиях имеет место предел Редже³⁹⁾  и так как структурные функции можно интерпретировать как сечения рассеяния виртуального гамма-кванта γ (или векторных бозонов W, Z) с квадратом инвариантной массы, равным -Q², то можно предположить [2] следующее асимптотическое поведение:

³⁹⁾ Сведения о теории Редже можно нвйти, например, в монографии [28].

ƒ(x,Q²)

 

≈

^x→0

b(Q²)ν

^α_R(0)

, x=

Q²

2ν

,

(23.16)

где R- соответствующая траектория Редже. В отличие от асимптотик структурных функций в пределе x→1 доказать асимптотические формулы (23.16) в рамках квантовой хромодинамики на современном этапе развития теории не удается.

Перепишем (23.16) в более удобном виде

ƒ

_NS

(x,Q²)

 

≈

^x→0

B

_NS

(Q²)x

^λ

,

(23.17 а)

ƒ

_i

(x,Q²)

 

≈

^x→0

B

_i

(Q²)x

^λ

, i=F,V .

(23.17 б)

В принципе можно допустить зависимость параметров λ от Q², но КХД и теория Редже показывают, что они имеют постоянные значения с точностью до членов O(M²/Q²).

Поведение структурных функций ƒ в пределе x→0 связано с сингулярностями моментов μ(n,Q²)^39а). Установление этой связи требует аналитического продолжения формул для μ(n,Q²) по переменной n. Поскольку моменты выражаются в виде μ(n,Q²)=AⁿCⁿ соответствующие сингулярности обусловливаются особенностями величин Aⁿ или Cⁿ в зависимости от того, какая из них расположена правее на комплексной плоскости. Можно показать, что асимптотические формулы (23.16) и (23.17) возможны только в том случае, когда крайняя правая сингулярная точка величины Aⁿ расположена правее соответствующей точки коэффициентной функции Cⁿ. Кроме того, если n₀ — такая крайняя правая сингулярная точка A , то она удовлетворяет равенствам