Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

^39а) Детали приводимого доказательства можно найти для иесингпетного случая в работе [ 199] и для обоих случаев в первом и втором порядках теории возмущений в работе [194]. В этих работах обсуждаются также другие асимптотики структурных функций в пределе x→0, отличные от реджевских.

n

₀

=1-λ

(NS)

n

₀

1+λ

_s

(singlet),

и с необходимостью выполняется соотношение λ_F=λ_V≡λ_s.

Так как сингулярности коэффициентных функций Cⁿ совпадают с сингулярностями функций d(n) или D(n), параметры λ и λ_s удовлетворяют неравенствам

λ < 1, λ

_s

> 0.

В случае рассеяния частиц, лежащих вне массовой поверхности, второе неравенство обеспечивает существование особенности выше померонного полюса. В пользу этого свидетельствуют результаты расчетов, выполненных Грибовым и Редже (см., например, обзор [ 30] и цитируемую там литературу)

Рассмотрим, теперь синглетный случай. Из выражения (20.7) следует, что величина

[α

_s

(Q²)]

^D(n)

^⃗

μ(n,Q²)

не зависит от значения Q². Пусть матрица S(n) диагонализует матрицу D(n). Запишем матрицу S(n) в виде, аналогичном (21.12), и примем, что она удовлетворяет соотношению

S

-1

(n)

D

(n)

S

(n)

=

D

^̂

(n)=

⎛

⎜

⎝

d

₊

(n)

0

0

d

_-

(n)

⎞

⎟

⎠

.

(23.18)

Используя асимптотические формулы (23.17) и полагая n=1+λ_s+ε, находим

^⃗

μ(1+λ

_s

+ε)=

^⃗B(Q²)

ε

(23.19)

Таким образом, величина

[α

_s

(Q²)]

^D(1+λ_s+ε)

^⃗

B(Q²)

≡

^⃗

b

не зависит от квадрата 4-импульса Q². Применяя матрицу S(1+λ_s+ε) и полагая ε→0, получаем

^⃗

B

(Q²)=

S

(1+λ

_s

)

⎛

⎜

⎜

⎝

α

_-d+(1+λs)

^s

0

0

α

_-d-(1+λs)

^s

⎞

⎟

⎟

⎠

^⃗

b.

При этом собственные значения диагональной матрицы обозначены так, что выполняется условие d+>d-; следовательно, в ведущем порядке теории возмущений можно пренебречь членом α-d-s по сравнению с членом α-d+s и мы получаем окончательные соотношения

ƒ

_i

(x,Q²)

 

≈

^x→0

B

_0i

[α

_s

(Q²)]

^{-d₊(1+λ_s)}

x

^-λ_s

,

(23.20 а)

B_0V

B_0F

=

d₊(1+λ_s)-D₁₁(1+λ_s)

D₁₂(1+λ_s)

(23.20 б)

Константы B_0F , λ_s в рамках КХД вычислить не удается, хотя ожидается, что λ_s≈ 0,1 - 0,6.

Для несинглетных структурных функций имеем

ƒ

_NS

(x,Q²)

 

≈

^x→0

B

_0NS

[α

_s

(Q²)]

^-d(1-λ)

x

^λ

(23.21)

Величина коэффициента B_0NS неизвестна; в силу того что параметр λ связан с точкой пересечения траектории Редже с осью координат, для него можно ожидать значения

λ=1-α

_p

(0)≈0.5 .

Следует отметить три важные особенности. Во-первых, в отличие от асимптотических формул в пределе x→1 поправки высших порядков не искажают результатов, полученных при x≈0; они сводятся просто к умножению формул (23.20) и (23.21) на 1+b₁α_s , где коэффициент известен. Во-вторых, так как ожидаемые значения параметров λ , λ_s и комбинаций d(1-λ), d₊(1+λ_s) положительны, при малых значениях x все структурные функции возрастают с увеличением квадрата 4-импульса Q² . Это свойство структурных функций также подтверждается экспериментом. Наконец, в-третьих, в отличие от случая x→1 при x≈0 глюонные функции распределения превышают синглетные функции распределения кварков. Действительно, правая часть (23.20 б) для ожидаемых значений параметра λ_s имеет величину в пределах 4 — 8.

§ 24. Сравнение с экспериментом; параметризации, согласующиеся с КХД, и точечноподобная эволюция структурных функций

Поскольку теоретические предсказания для моментов оказываются проще, чем для самих структурных функций, может показаться, что с экспериментом следует сравнивать предсказания КХД именно для моментов. Но это неудобно по следующим причинам. Во-первых, чтобы экспериментально получить значения моментов структурных функций в широком интервале значений 4-импульса Q² , необходимо провести детальные измерения структурных функций для целой последовательности близколежащих значений переменной x. Экспериментально это не всегда выполнимо. Но даже при наличии хороших экспериментальных данных возникают проблемы с вычислением высших моментов. Фактически вычисление высших моментов сводится к взятию интегралов от структурной функции ƒ с весом x^n-2. Основной вклад в такие интегралы дает область x≈1. Так как в этой области значения структурных функций очень малы, экспериментальные ошибки возрастают и даже в самых благоприятных случаях становятся неконтролируемыми при n≥6. Таким образом, теряется огромное количество экспериментальной информации. Указанные трудности послужили причиной для разработки других методов сравнения.

Можно также написать разумную параметризацию для структурной функции ƒ, которая содержала бы результаты квантовой хромодинамики и которую можно было бы согласовать с экспериментальными данными. Это не очень строгий метод, но он очень прост и приводит к явным аналитическим выражениям для структурных функций, которые затем можно использовать для описания других процессов (Дрелла - Яна, адрон-адронного рассеяния на больших p_t или рассеяния виртуальных адронов).