Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Мы не будем доказывать здесь этих теорем, а отметим, что соотношения (30.7) дают более количественный критерий выполнения киралыюй симметрии и симметрии по ароматам; они справедливы с точностью до поправок порядка m²_π/m²_ρ для группы SU_F(2) и с точностью до поправок порядка m²_K/m²_K^* в случае группы SU_F(3).

Отметим также, что симметрия Намбу - Голдстоуна [203, 205, 206] не может быть реализована в рамках теории возмущений, так как во всех порядках теории возмущений Q^a₅(t)|0⟩=0. Это означает, что физический вакуум отличается от вакуума теории возмущений в пределе m→0. Там, где есть опасность ошибиться, мы будем подчеркивать этот факт, используя для вакуума теории возмущений обозначение |0⟩ , а для физического вакуума обозначение |vac⟩. Поэтому соотношения (30.6) мы запишем в виде

Q

^a

(t)|vac⟩=0 , Q

_a

⁵

(t)|vac⟩≠0 .

(30.8)

Нетрудно видеть, как это происходит. Пусть a⁺_mG(⃗p) - оператор рождения частицы, масса которой может быть равной нулю. Состояния

a

₊

^m_G

(⃗0)

⁽ⁿ⁾

…a

₊

^m_G

(⃗0)|(0)⟩=|n⟩

вырождены в пределе m_G→0. Таким образом, в этом пределе физический вакуум имеет вид

|vac⟩=

∑

C

_n

|n⟩.

Ожидается, что подобное явление происходит в квантовой хромодинамике, в частности в пределе m_q→0.

§ 31. Частичное сохранение аксиального тока и отношения масс кварков

Теперь мы можем получить количественные результаты для масс легких кварков. С этой целью рассмотрим ток

A

_μ

^ud

(x)=

u

(x)γ

^μ

γ

₅

d(x) ,

и его дивергенцию

∂

_μ

A

_μ

^ud

(x)=i(m

_u

+m

_d

)

u

(x)γ

₅

d(x) .

Последняя величина имеет квантовые числа π⁺-мезона, и ее можно использовать как (составное) пионное поле. Поэтому напишем

∂

_μ

A

_μ

^ud

(x)=√

2

ƒ

_π

m

₂

^π

φ

_π

(x) .

(31.1)

Коэффициенты в формуле (31.1) выбраны такими по историческим причинам. Пионное поле φ_π(x) нормировано следующим образом:

⟨0|φ

_π

(x)|π(p)⟩

=

1

(2π)^3/2

(31.2а)

где |π(p)⟩ - однопионное состояние с импульсом p. Константа ƒ_π может быть получена экспериментально. Действительно, рассмотрим слабый распад π→μν. Эффективный лагранжиан Ферми, описывающий слабые взаимодействия, имеет вид

ℒ

_F

^int

=(G

_F

/√

2

)

μ

γ

_λ

(1-γ

₅

)ν

_μ

u

γ

^λ

(1-γ

₅

)d+… .

Используя его, мы получаем

F(π→μν)

=

2πG_F

√2

u

_(ν)

(p

₂

)γ

_λ

(1-γ

₅

)

v

_ν

(p

₁

,σ)

⟨0|A

_λ

^ud

(0)|π(p)⟩ .

Исходя из соображений инвариантности, можно написать равенство

⟨0|A

_λ

^ud

(0)|π(p)⟩=ip

^λ

C

_π

(31.2б)

свернув которое с компонентой импульса p_μ , получим результат C_π=ƒ_π√2/(2π)^3/2:

m

₂

^π

C

_π

⟨0|∂

_λ

A

_λ

^ud

(0)|π(p)⟩=√

2

ƒ

_π

m

₂

^π

1

(2π)^3/2

;

(31.2в)

следовательно,

r(π→μν)

=

4π

(1-m

₂

^μ /m

₂

^π )² G

₂

^F ƒ

₂

^π m_πm

₂

^μ .

Таким образом, константа ƒ_π

непосредственно связана со скоростью распада π→μν . Экспериментально получено значение ƒ_π≈93,3 МэВ. Замечательный факт состоит в том, что, повторив тот же анализ для каонов и используя равенство

θ

_μ

A

_μ

^us

(x)

=

√

2

ƒ

_K

m

₂

^K

φ

_K

(x) ,

(31.3)

мы получим экспериментальное значение ƒ_K≈110 МэВ , которое с точностью 20% согласуется со значением величины ƒ_π . В действительности этого и следовало ожидать, так как в пределе m_{u, d, s}→0 разницы между пионами и каонами нет и должно выполняться строгое равенство. Тот факт, что значения ƒ_π и ƒ_K реальном мире оказываются такими близкими, является веским аргументом в пользу киральной симметрии SU_F(3).

Соотношения (31.1) и (31.3) иногда называют частичным сохранением аксиального тока (ЧСАТ)⁴⁷⁾, что не имеет большого смысла, так как эти соотношения на самом деле являются тождествами. Можно использовать любое желаемое пионное поле, в частности поле (31.1) при условии, что оно имеет правильные квантовые числа и его матричный элемент между вакуумным и однопионным состояниями не равен нулю. Нетривиальная часть явления частичного сохранения аксиального тока описана ниже.

⁴⁷⁾ Действительно, в пределе m²_π→0 правая часть равенства (31.1) обращается в нуль.

Следующий шаг состоит в рассмотрении двухточечных функций (индекс ud в обозначении A_ud мы опускаем)

F

^μν

(q)

=

i

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

⟨TA

^μ

(x)A

^ν

(0)

⁺

⟩

_vac

,

и их сверток с компонентами импульса q_μ и q_ν

q

_ν

q

_μ

F

^μν

(q)

=

-q

_ν

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

∂

_ν

⟨TA

^μ

(x)A

^ν

(0)

⁺

⟩

_vac

,

=

-q

_ν

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

δ(x

⁰

)

⟨[A

⁰

(x),A

^ν

(0)

⁺

]⟩

_vac

-

-q

_ν

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

⟨T∂A(x)A

^ν

(0)+⟩

_vac

,

=

2i

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

δ(x

⁰

)

⟨[A

⁰

(x)∂A(0)

⁺

]⟩

_vac

+

i

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

⟨T∂A(x)∂A(0)

⁺

⟩

_vac

.

Используя равенство (31.1) и вычислив коммутатор, получаем

q

_ν

q

_μ

F

^μν

(q)

=

2(m

_u

+m

_b

)

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

δ(x)

⟨

u

(x)u(x)+

d

(x)d(x)⟩

_vac

+

2iƒ

₂

^π

m

₄

^π

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

⟨Tφ

_π

(x)φ

_π

(0)

⁺

⟩

_vac

,

или в пределе q→0

2(m

_u

+m

_d

)

⟨

u

(0)u(0)+

d

(0)d(0)⟩

_vac

=

-2iƒ

₂

^π

m

₄

^π

∫

𝑑x e

^iq⋅x

⟨Tφ

_π

(x)φ

_π

(0)

⁺

⟩

_vac

⎪

_q→0

.

В правую часть этого равенства дают вклады пионный полюс и континуум, которые можно записать в виде

i

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

⟨Tφ

_π

(x)φ

_π

(0)

⁺

⟩

_vac

⎪

_q→0

=

⎧

⎨

⎩

1

m

₂

^π -q²

+

1

π

∫

𝑑t'

Im Π

t'-q²

⎫

⎬

⎭_q→0

=

1

m

₂

^π

+

1

π

∫

𝑑t'

Im Π

t'

;

Π

=

i

∫

𝑑

⁴

x e

^id⋅x

⟨Tφ

_n

(x)φ

_π

(0)

⁺

⟩

_vac

.