Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Порядок выполнения предельных переходов в данном случае существен; вначале следует устремить импульс q к нулю, а затем перейти к киральному пределу. В этом пределеле^47а) m²_π→0 первый член в правой части записанного равенства расходится, а второй остается конечным. Следовательно, мы получаем окончательный результат

^47а) Это собственно и есть предел ЧСАТ, так как в этом пределе аксиальный ток сохраняется и его дивергенция равна нулю: ∂_μA^μ=0.

(m

_u

+m

_d

)

⟨

u

u+

d

d⟩

_vac

=

-ƒ

₂

^π

m

₂

^π

⎧

⎨

⎩

1+O(m

₂

^π

)

⎫

⎬

⎭

.

(31.4)

Это соотношение отражает тот факт, что вакуумное среднее ⟨qq⟩_vac не равно нулю, ибо в противном случае мы должны потребовать равенства ƒ_π=0. Отметим также, что до сих пор не проводилось различий между "голыми" и перенормированными массами и операторами. Этого и не нужно делать, так как известно, что масса m и составной оператор qq обладают противоположным перенормировочным поведением, и справедливо равенство m_R(qq)_R = m_u(qq)_u .

Можно повторить вывод формулы (34.1) для каонов. Пренебрегая членами O(m²_π) или O(m²_K), получим

(m

_u

+m

_s

)

⟨

u

u+

s

s⟩

_vac

=

-ƒ

₂

^K

m

₂

^K+

,

(m

_d

+m

_s

)

⟨

d

d+

s

s⟩

_vac

=

-ƒ

₂

^K

m

₂

^K0

.

(31.5)

Если предположить, что вакуумное среднее ⟨qq⟩ одинаково для кварков всех ароматов, то для масс легких кварков можно получить

m_s+m_u

m_d+m_u

≈

ƒ

₂

^K

m

₂

^K+

ƒ

₂

^π m

₂

^π

 ,

m_d-m_u

m_d+m_u

≈

ƒ

₂

^K

ƒ

₂

^π

⋅

m

₂

^K0

-m

₂

^K+

m

₂

^π

.

Более строгие оценки требуют рассмотрения обусловленных электромагнитным взаимодействием вкладов в наблюдаемые массы π и K-мезонов. Учитывая их, получаем⁴⁸⁾

⁴⁸⁾ См. работы [99, 260, 280]. Этот метод возник в работах [141, 147, 192]

m_s

m^d

=18±4 ,

m_d

m^u

=2.0±0.3

(31.6)

Если теперь объединить эти результаты с феноменологическими оценками (из спектроскопии мезонов и барионов) масс кварков m_s-m_d≈100 - 200 МэВ m_d-m_u≈4 МэВ, то мы получим следующие значения масс в мегаэлектронвольтах:

m

_u

(q∼m

_p

)≈6,

m

_d

(Q∼m

_p

)≈10,

m

_s

(Q∼m

_p

)≈200,

(31.7)

где приближенное равенство означает, что возможна ошибка в 2 раза.

Такой способ получения масс кварков весьма неточен, поэтому в следующем параграфе будет описан другой, более изощренный метод.

§ 32. Ограничения на массы легких кварков и оценки для них

В этом параграфе описан метод получения ограничений на массы кварков и оценок для них. Этот метод впервые был использован в работе [254] и развит в работе [34]. Отправной точкой метода является функция

Ψ

₅

^ij

(q²)

=

i(m

_i

+m

_j

)²

∫

𝑑

⁴

x e

^iq⋅x

⟨TJ

₅

^ij

(x)J

₅

^ij

(0)

⁺

⟩

_vac

,

(32.1)

где ток J⁵ имеет вид

J

₅

^ij

q

_i

γ

₅

q

_j

.

Во всех порядках теорий возмущений функция

F

_ij

(Q²)

=

∂²

∂(q²)²

Ψ

₅

^ij

(q²) ,

Q²=-q² ,

в пределе Q²→∞ обращается в нуль. Следовательно, можно записать без каких-либо вычитаний следующее дисперсионное соотношение:

F

_ij

(Q²)

=

2

π

∫

^∞

 

₀

𝑑t

Im Ψ

₅

^ij

(t)

(t+Q²)³

.

(32.2)

Левую часть этого равенства при больших значениях Q² можно вычислить в рамках квантовой хромодинамики. Но при этом необходимо соблюдать осторожность: недостаточно сохранить только ведущий член операторного разложения для произведения токов TJ⁵J⁵⁺, вклад операторов qq, x^αq∂_αq и G²=∑_aG_aμνG^μν_a также оказывается важным. Проводя вычисления в двухпетлевом приближении и помня о том, что операторы α_sG² и mqq в рассматриваемом порядке теории возмущений являются ренорминвариантными величинами, получаем

F

_ij

(Q²)

=

3

8π²

⋅

[m_i(Q²)+m_j(Q²)]²

Q²

×

⎧

⎨

⎩

1+O

⎧

⎪

⎩

m²

Q²

⎫

⎪

⎭

+

11

3

⋅

α_s(Q²)

π

+

2π

3

⋅

α_s⟨G²⟩

Q⁴

-

16π²

3Q⁴

⎡

⎢

⎣

⎧

⎪

⎩

m

_j

-

m_i

2

⎫

⎪

⎭

⟨

q

_i

q

_i

⟩

+

⎧

⎪

⎩

m

_i

-

m_j

2

⎫

⎪

⎭

⟨

q

_j

q

_j

⟩

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

.

Вклады операторов ⟨qq⟩ и ⟨G²⟩ оцениваются с учетом непертурбативных частей кваркового и глюонного пропагаторов (см. § 35, 36, где подробно рассмотрен пример вычислений). Вклады оператора m⟨qq⟩ можно оценить, используя формулы (31.4) и (31.5); по-видимому, эти вклады имеют величину O(m²/Q²) и оказываются пренебрежимо малыми. Таким образом, получаем

F

_ij

(Q²)

=

3

8π²

⋅

[m_i(Q²)+m_j(Q²)]²

Q²

×

⎧

⎨

⎩

1+

11

3

⋅

α_s(Q²)

π

+

2π

3Q⁴

α

_s

⟨G²⟩

⎫

⎬

⎭

.

(32.3)

Обратимся теперь к правой части равенства (32.2). Вклад пионного (для ij=ud) или каонного (для ij=us,sd) резонанса можно получить непосредственно; в случае пионов находим

2

π

∫

^∞

 

₀

𝑑t

Im Ψ⁵(t)

(t+Q²)³

=

4ƒ

₂

^π

m

₄

_π

1

(m

₂

^π +Q²)³

+

2

π

∫

 

 

_9m²π

𝑑t

Im Ψ⁵(t)

(t+Q²)³

.

(32.4)

Здесь важно, что Im Ψ⁵(t)≥0; отсюда немедленно следует неравенство, связывающее величины m_u+m_d и m_π,ƒ_π,⟨α_sG²⟩ :

[

m

_u

(Q²)+

m

_d

(Q²)]²

≥

32π²ƒ

₂

^π

m

₄

^π

3(m

₂

^π +Q²)³

×

⎧

⎨

⎩

1+

11

3

⋅

α_s(Q²)

π

+

2π

3Q⁴

α

_s

⟨G²⟩

⎫^-1

⎬

⎭

.

(32.5)

Это ограничение не слишком хорошее, так как мы теряем значительную часть информации. Его можно улучшить, рассмотрев N-ю производную от величины F(Q²) и оптимизируя ее по переменным N и Q². Детальное изложение можно найти в работе [34]. В результате получаем

m̂

_u

+m̂

_d

≥

⎧

⎪

⎩

2π

3

⎫½

⎪

⎭

⋅

8m

₂

^π

ƒ

₂

^π

3⟨αG²⟩^½

{1±δ} ,

(32.6)

где δ - поправка~25%. Если использовать значение вакуумного среднего ⟨α_sG²⟩₀ , полученное из спектроскопии чармония [229, 230] или в вычислениях на решетке [96], то получим такие численные оценки:

m̂

_u

+m̂

_d

≥(23±8) МэВ ,

⟨α

_s

G²⟩≈0.044

_+0.014

^-0.006

ГэВ

⁴

.

(32.7)