Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Проведем вычисления в нулевом порядке теории возмущений по константе связи α_s ; очевидно, что в этом порядке выражение (33.11) должно быть справедливо. Этому соответствуют диаграммы рис. 25, а. Результат, полученный впервые в работе [234], в пределе k₁,k₂→0 при δ_u=1, δ_d=-1 имеет вид

T

^μν

(k

₁

,k

₂

)

=

3×2×

 

∑

^f=u,d

δ

_ƒ

Q

₂

^ƒ

m

_ƒ

×

∫

𝑑⁴p

2(π)⁴

⋅

Tr γ

₅

(

p

+k

₁

+m

_ƒ

)

γ

^μ

(

p

+m

_ƒ

)

γ

^ν

(

p

-k

₂

+m

_ƒ

)

[(p+k

₁

)²-m

₂

^ƒ

](p²-m

₂

^ƒ

[(p-k

₂

)²-m

₂

^ƒ

]

=

-1

4π²

ε

^μναβ

k

_1α

k

_2β

⎧

⎨

⎩

3(Q

₂

^u

-Q

₂

^d

)

⎫

⎬

⎭

+O(k

⁴

)

=

-1

4π²

ε

^μναβ

k

_1α

k

_2β

+O(k

⁴

)

Множитель 2 в первом выражении является следствием учета "кросс" диаграмм; множитель 3 возник из суммирования по цвету. Таким образом, получаем

Φ=

-1

4π²

(33.13)

что противоречит результату (33.11). Это и составляет содержание треугольной аномалии [7, 36].

В чем скрыто противоречие? Очевидно, что нельзя сохранить выражение (33.12), которое получено с использованием уравнения движения для свободных полей i∂q=mq ; необходимо допустить, что в присутствии векторных полей (в данном случае фотонного поля) выражение (33.12) не справедливо. Чтобы получить согласие с формулой (33.13), необходимо написать [7]

∂

_μ

A

_μ

³

(x)

=

2i

⎧

⎨

⎩

m

_u

u

(x)γ

₅

u(x)

-

m

_d

d

(x)γ

₅

d(x)

⎫

⎬

⎭

+

3(Q

₂

^u

-Q

₂

^d

)

e²

16π²

F

_μν

(x)

F

^̃

^μν

(x),

(33.14)

где дуальный тензор F^̃ определяется формулой

F

^̃

^μν

=

1

2

ε

^μναβ

F

_αβ

 ,

F

_αβ

=

∂

_α

A

_β

-∂

_β

A

_α

,

где A — фотонное поле. Для более общего случая фермионных полей ƒ, взаимодействующих с векторными полями с константой взаимодействия h_ƒ , справедливо выражение

∂

_μ

ƒ

γ

^μ

γ

₅

ƒ

=

2im

_ƒ

ƒ

γ

₅

ƒ+

T_Fh²

8π²

H

_μν

H

^̃

^μν

;

(33.15)

здесь H^μν — тензор напряженностей векторных полей. Вернемся к рассмотрению распада π⁰→γγ. Из (33.13) в пределе ЧСАТ m_π∼0 вычислим амплитуду распада

F(π

⁰

→2γ)

=

α

π

⋅

ε

^μναβ

k

_1α

k

_2β

ε

_μ

(k

₁

,λ

₁

)

ε

_ν

(k

₂

,λ

₂

)

(q

²

-m

₂

^π

)

√

2π

ƒm

₂

^π

(33.16)

и ширину распада

Γ(π

⁰

→γγ)

=

⎧

⎪

⎩

α

π

⎫²

⎪

⎭

1

64π

⋅

m

₃

^π

ƒ

₃

^π

≈7,25⋅10

^-6

МэВ,

которую следует сравнить с экспериментально полученным значением

Γ

_exp

(π

⁰

→γγ)

=

7,95×10

^-6

МэВ .

В действительности можно определить и знак амплитуды распада (используя метод Примакова), который согласуется с теоретическими предсказаниями. Важно отметить, что если бы не было цветовых степеней свободы, то результат был бы в (1/3)² раза меньше и отличался бы от экспериментального значения на целый порядок величины.

Можно поставить вопрос о том, насколько достоверны эти вычисления. В конце концов, они выполнены в нулевом порядке теории возмущений по константе связи α_s . На самом деле этот расчет верен во всех порядках теории возмущений КХД ^48б); единственное приближение состоит в использовании гипотезы ЧСАТ m_π≈0. Чтобы убедиться в этом, приведем альтернативный метод получения основного результата (33.13). Для этого вернемся к выражению (36.6). В нулевом порядке теории возмущений по константе связи α_s имеем

^48б) В действительности этот расчет верен во всех порядках теории возмущений для любого взаимодействия, подобного векторному. Доказательство этого факта в основном содержится в работе [9] (см. также [25, 80, 268]).

R

^μνλ

=

∑

δ

_ƒ

Q

₂

^ƒ

∫

𝑑⁴p

(2π)⁴

⋅

⋅

Tr γ

^λ

γ

₅

(

p

+k

₁

+m

_ƒ

)

γ

^μ

(

p

+m

_ƒ

)

γ

^ν

(

p

-

k

₂

+m

 

^ƒ

)

((p+k

₁

)

²

-m

₂

^ƒ

)(p

²

-m

₂

^ƒ

)((p-k

₂

)

²

-m

₂

^ƒ

)

+

вклад "кросс"-диаграммы

(рис. 25,6) В общем случае можно рассматривать произвольный аксиальный треугольник, которому соответствует выражение

R

_μνλ

^ijl

=2

∫

𝑑^Dp

(2π)^D

⋅

Tr γ

₅

(

p

+k

₁

+m

_ƒ

)

γ

^μ

(

p

+m

_ƒ

)

γ

^ν

(

p

-k

₂

+m

_ƒ

)

[(p+k

₁

)²-m

₂

^ƒ

](p²-m

₂

^ƒ

[(p-k

₂

)²-m

₂

^ƒ

]

(33.17)

Нам нужно вычислить величину q_λR^λμν . Используя равенство

(

k

₁

+

k

₂

)γ

₅

=-

(

p

-

k

₂

-m

_l

)γ

₅

+

(

p

+

k

₁

-m

_i

)γ

₅

-

(m

_i

+m

_l

)γ

₅

,

приходим к результату

q

_λ

R

_λμν

^ijl

=

-2(m

_i

+m

_l

)

×

∫

𝑑⁴p

(2π)⁴

Tr

γ

₅

(

p

+

k

₁

+m

_i

γ

^μ

(

p

+m

_j

)

γ

^ν

(

p

-

k

₂

+m

 

^l

)

((p+k

₁

)²-m

₂

ⁱ

)(p

²

-m

₂

^j

)((p-k

₂

)

²

-m

₂

^l

)

+

a

_μν

^ijl

(33.18а)

a

_μν

^ijl

=

2

∫

𝑑

^D

p̂ Tr{(

p

-

k

₂

-m

_l

)γ

₅

(

p

+

k

-m

_i

)γ

₅

}

×

1

p+k₁-m_i

γ

^μ

1

p-m_j

γ

^ν

1

p-k₂-m_l

⋅

(33.18б)

Первый член в (33.18а) соответствует тому, что мы получили бы при непосредственном использовании уравнений движения ∂_μq_iγ^μγ₅q_l = i(m_i+m_l)q_iγ₅q_l ; второй член описывает аномалию. Приняв в пространстве размерности D для γ-матриц коммутационные соотношения {γ^μ,γ₅}=0, второе слагаемое в формуле (33.18а) можно записать в виде

a

_μν

^ijl

=

-2

∫

𝑑

^D

p̂

⎧

⎨

⎩

Tr γ

₅

1

p+k₁-m_i

γ

^μ

1

p-m_j

γ

^ν

+

Tr γ

₅

γ

^μ

1

p-m_j

γ

^ν

1

p-k-m_l

⎫

⎬

⎭

.

(33.18в)

Отсюда заключаем, что тензор a^μν равен нулю, так как каждый член выражения (33.18в) представляет собой антисимметричный тензор, зависящий от единственного вектора (первый член зависит от вектора k₁ , второй — от вектора k₂), который обращается в нуль. Между прочим, отсюда видно, что тензор a фактически не зависит от масс, так как производная (∂/∂m)a^μν сходится, и, таким образом, это доказательство применимо. Следовательно, можно написать a^μν_ijl≡a^μν, где тензор a^μν получается из исходного тензора, если в нем массы всех частиц положить равными нулю. Аналогичные аргументы показывают, что тензор a^μν должен иметь вид

a

^μν

=aε

^μναβ

k

_1α

k

_2β

, a=constant,

(33.19а)

так что величину a можно получить двойным дифференцированием тензора a^μν:

a=

∂²

∂k_1αk_2β

a

^μν

⎪

⎪

⎪_ki=0

.

(33.19б)