Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Эта ограничения не учитывают возможные ошибки в определении значения вакуумного среднего ⟨α_sG²⟩ . Если добавить и их, то получим ограничение снизу

m̂

_u

+m̂

_d

≥13 МэВ .

(32.8)

Во всяком случае, это ограничение совместимо в пределах ошибок с ограничениями (31.7), хотя некоторое предпочтение отдается бо́льшим массам кварков.

Этот метод можно использовать не только для получения ограничений на массы кварков, но и для оценки их значений. С этой целью в рамках той или иной модели вычисляют функцию Im Ψ⁵_ij(t), для которой при больших t используют выражение, полученное из КХД, а низкоэнергетическую часть параметризуют (одним или несколькими) резонансами. Таким способом получена оценка [169, 254, 284*]

m̂

_u

+m̂

_d

≥(20±6) МэВ ,

(32.9)

Недавно был развит альтернативный метод [210], который можно рассматривать как основанное на КХД улучшение классических оценок, полученных в работе [192]. Этот метод позволил получить приближенное значение m̂_u+m̂_d≈(27±8) МэВ при параметре обрезания Λ=130 ± 50 МэВ. Как было указано выше, мы получаем массы кварков, согласующиеся с оценками (31.7), но смещенные в сторону больших значений. Между прочим, эти оценки показывают, что ограничение (32.6) является очень строгим, и, возможно, приближенное равенство

m̂

_u

+m̂

_d

≈

⎧

⎪

⎩

2π

3

⎫½

⎪

⎭

⋅

8m

₂

^π

ƒ

₂

^π

3⟨αG²⟩^½

,

по крайней мере в некотором пределе, является точным.

§ 33. Распад π⁰→γγ; аксиальная аномалия

Одно из первых указаний на существование цветовых степеней свободы было получено при изучении распада π⁰→γγ, к детальному рассмотрению которого мы теперь переходим.

Используя редукционные формулы, амплитуду этого распада можно записать в виде

⟨γ(k

₁

,λ

₁

),γ(k

₂

,λ

₂

)

|S|π

⁰

(q)⟩

=

-ie²

(2π)^9/2

ε

_*

^μ

(k

₁

,λ

₁

)

ε

_*

^ν

(k

₂

,λ

₂

)

∫

𝑑

⁴

x

₁

𝑑

⁴

x

₂

𝑑

⁴

z

e

^{i(x₁⋅k₁+x₂⋅k₂-z⋅q)}

×

(∂

₂

^z

+m

₂

^π

⟨TJ

_μ

^em

(x

₁

)

J

_ν

^em

(x

₂

)

φ

_π⁰

(z)⟩

₀

,

(33.1)

где принято

∂A

^μ

(x)=J

_μ

^em

(x),

A — поле фотонов^48а). Выделяя дельта-функиию δ(k₁+k₂+q), получаем

^48а) Мы оставляем читателю в качестве упражнения доказательство этого равенства, а также равенства ∂

₂

_x1 ∂

₂

_x2 TA^μ(x₁)A^ν(x₂)φ(z) = T(∂²A^μ(x₁)∂²A^ν(x₂))φ(z) , означающего, что возможные члены, в которых производные действуют на функцию θ⁰₁-z⁰ в хронологическом произведении, приводят к вкладам, равным нулю.

F(π

⁰

)→γ(k

₁

,λ

₁

),γ(k

₂

,λ

₂

))

=

e

²

(q

²

-m

₂

^π

)

√2π

ε

_*

^μ

(k

₁

,λ

₁

)

ε

_*

^ν

(k

₂

,λ

₂

)

F

^μν

(k

₂

,k

₂

) ,

(33.2а)

где вакуумное среднее

F

^μν

(k

₂

,k

₂

)

=

∫

𝑑

⁴

x𝑑

⁴

y

e

^{i(x⋅k₁+y⋅k₂)}

⟨TJ

_μ

(x)J

^ν

(y)φ

_π⁰

(0)⟩

₀

,

q

=

k

₁

+k

₂

.

(33.2б)

Всюду в дальнейшем при токе J подразумевается индекс em, обозначающий электромагнитное взаимодействие. Теперь можно использовать соотношение (31.1), обобщив его так, чтобы включить поля π⁰-мезонов:

∂

_μ

A

_μ

³

(x)

=

2ƒ

_π

m

₂

^π

φ

_π⁰

(x),

A

_μ

³

(x)

=

u

(x)γ

^μ

γ

₅

u(x)

-

d

(x)γ

^μ

γ

₅

d(x),

(33.3)

и записать с его помощью равенства

F

^μν

(k

₁

,k

₂

)

=

1

ƒ_πm

₂

^π

T

^μν

(k

₁

,k

₂

),

T

^μν

(k

₁

,k

₂

)

=

1

2

∫

𝑑

⁴

x𝑑

⁴

y

e

^{i(x⋅k₁+y⋅k₂)}

⟨TJ

^μ

(x)J

^ν

(0)∂A

₃

(0)⟩

₀

.

(33.4)

До сих пор все вычисления были точными. Следующий же шаг связан с применением гипотезы частичного сохранения аксиального тока (ЧСАТ), сформулированной в таком виде: предполагается, что в пределе q²→0 амплитуду F(π→γγ) можно аппроксимировать ее ведущим членом. Из чисто кинематических соображений видно, что при этом также q, k₁, k₂ → 0. Тогда можно написать

T

^μν

(k

₁

,k

₂

)

=

ε

^μναβ

k

_1α

k

_2β

Φ+O(k

³

).

(33.5)

Гипотеза частичного сохранения аксиального тока означает, что в выражении (33.5) мы сохраняем только первый член. Ниже будет показано, что это приводит к противоречию, для разрешения которого необходимо ввести так называемую аксиальную аномалию, что позволит точно вычислить тензор T^μν во всех порядках теории возмущений (в приближении ЧСАТ).

Первый шаг состоит в рассмотрении величины

R

^μνλ

(k

₁

,k

₂

)

=

∫

𝑑

⁴

x𝑑

⁴

y

e

^{i(x⋅k₁+y⋅k₂)}

⟨TJ

^μ

(x)J

^ν

(y)A

_λ

³

(0)⟩

₀

.

(33.6)

Исходя только из требования лоренц-инвариантности, для нее можно написать общее разложение

R

^μνλ

(k

₁

,k

₂

)

=

ε

^μνλα

k

_1α

Φ

₁

+

ε

^μνλα

k

_2α

Φ

₂

+O(k³),

(33.7)

где члены O(k³) имеют вид ε^μλαβk_iαk_iβk_lλΦ_lij + три перестановки, и для случая m≠0 функция Φ является регулярной в пределе k_i→0. Сохранение электромагнитного тока ∂J=0 приводит к равенствам

k

_1μ

R

^μνλ

=

k

_2ν

R

^μνλ

=0;

(33.8)

первое из этих равенств обеспечивает выполнение соотношения

Φ

₁

=

O(k²),

(33.9а)

а второе - соотношения

Φ

₂

=

O(k²),

(33.9б)

Но из формул (33.4) и (33.6) следует равенство

q

_λ

R

^μνλ

(k

₁

,k

₂

)

=

T

^μν

(k

₁

,k

₂

), т.е. Φ=Φ

₂

-Φ

₁

,

(33.10)

и, следовательно, учитывая выражения (33.9) , получаем результат [238, 255]

Φ=O(k²).

(33.11)

Импульс k имеет величину порядка m откуда следует оценка Φ²_π. По это противоречит эксперименту и, что еще хуже, противоречит результату прямого вычисления. Действительно, используя уравнение движения, можно написать

∂

_μ

A

_μ

³

(3)=2i

⎧

⎨

⎩

m

_u

u

(x)γ

₅

u(x)

-

m

_d

d

(x)γ

₅

d(x)

⎫

⎬

⎭

.

(33.12)

Рис. 25. Диаграммы с аномалиями (а, б) и диаграммы, не содержащие аномалий (в, г).