Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Из этих рассуждений и из выражения (33,18в) следует равенство a≡0, противоречащее теореме Велтмана — Сатерленда.

Оказывается, что вывод о тождественном равенстве нулю величины a фактически является иллюзорным. Если провести замену переменных, например p→p+ξk₂ , в интеграле (33.18в), то мы получим конечный не равный нулю результат, зависящий от параметра ξ: a=-ξ/(2π²). Отсюда видно, что коммутационные соотношения {γ^μ,γ₅}=0⁴⁹⁾ приводят к неопределенному значению аномалии. Однако если начать с формулы (33.186) и не предполагать антикоммутативности матриц γ_μ и γ₅, то получим

⁴⁹⁾ Такие коммутационные соотношения внутренне противоричивы. Например, используя формулы, приведенные в приложении А для пространства размерности D≠4, получим Tr γ₅γ^αγ^μγ^νγ^ργ_αγ^σ = (6-D) Tr γ₅γ^μγ^νγ^ργ^σ, в то время как, приложив коммутативность, можем получить выражения Tr γ₅γ^αγ^μγ^νγ^ργ_αγ^σ = -Tr γ₅γ^μγ^νγ^ργ_αγ^σγ^α = (D-2) Tr γ₅γ^μγ^νγ^ργ^σ, которые отличаются от предыдущих членами O(4-D). Но эти проблемы возникают только в том случае, если имеется по меньшей мере четыре γ-матрицы.

aε

^μναβ

=-2

∫

𝑑

^D

p̂

Tr γ

₅

⎧

⎨

⎩

1

p

γ

^α

1

p

γ

^μ

1

p

γ

^ν

1

p

γ

^β

-

1

p

γ

^μ

1

p

γ

^ν

1

p

γ

^β

1

p

γ

^α

⎫

⎬

⎭

.

Выполняя симметричное интегрирование (приложение Б) и пользуясь только правилами вычислений, приведенными в приложении А для пространства размерности D≠4, получим однозначный результат

aε

^μναβ

=

8(D-1)(4-D)

D(D+2)

⋅

i

16π²

⋅

2

4-D

⋅

Tr γ

₅

γ

^μ

γ

^ν

γ

^α

γ

^β

+

O(4-D)

 

→

^D→4

-1

2π²

.

В этом заключается одна из особенностей аномалии: значение конечного фейнмановского интеграла зависит от способа регуляризации. К счастью, этой проблемы можно избежать, если использовать теорему Велтмана — Сатерленда, из которой можно заключить, что во всяком случае существует единственное значение величины a^49а) , совместимое с калибровочной инвариантностью, а именно

^49а) В действительности ситуация еще сложнее; по-видимому, знамения поправок высших порядков к тензору a^μν меняются при переходе от одной регупяризацонной процедуры к другой, даже еспи обе они сохраняют калибровочную инвариантность. Обсуждение этого вопроса и дальнейшие ссылки заинтересованный читатель может найти в работе: Jones D.R., Leveille J.P. , The Two Loop Axial Anomaly in N = 1 Supersymmetric Yang — Mills Theory. Univ. of Michigan preprint UM. He. 81-67, 1981 (не опубликовано).

a

_μν

^ijl

=a

^μν

=-

1

2π²

ε

^μναβ

k

_1α

k

_2β

.

(33.20)

Мы проверили, что выбранная нами регуляризация приводит именно к этому значению; проверку того, что при такой регуляризации сохраняется свойство калибровочной инвариантности, оставляем читателю в качестве простого упражнения.

Прежде чем продолжать, необходимо сказать несколько слов о теореме Велтмана - Сатерленда для безмассовых кварков. В этом случае первый член в правой части (33.18а) отсутствует; кажется, что теперь нельзя сохранить прежний результат для тензора a^μν (выражение (33.20)), так как это приводит к неравенству

q

λ

R

^λμν

=-

1

2π²

ε

^μναβ

k

_1α

k

_2β

≠0,

противоречащему выводу из теоремы Велтмана - Сатерленда qλR^λμν=0. Но это не так: соотношение qλR^λμν=a^μν и значение тензора a^μν по-прежнему справедливы. Причина состоит в том, что в случае m=0 функции Φ_i в (33.7) имеют сингулярности вида 1/k₁⋅k₂ . Следовательно, теорема Велтмана - Сатерленда в этом случае неприменима. Это еще одна особенность треугольной аномалии: lim_m→0q_λR^λμν=0, но если с самого начала предположить частицы безмассовыми, т.е. m=0, то

q

_λ

R

_λμν

^m≡0

=a

^μν

≠0,

Вернемся к нашему обсуждению, в частности рассмотрим случай m≠0. Настоящий метод демонстрирует, как можно доказать, что данный результат не перенормируется. Теорема Велтмана - Сатерленда представляет собой точное утверждение; как уже было показано, ее достаточно для того, чтобы доказать, что выражение (33.20) при учете поправок высших порядков не изменяется. Рассмотрим теперь типичный вклад высшего порядка, которому соответствует диаграмма рис. 25, в. Его можно записать в виде интегралов по импульсам кварка и глюона. Но в этом случае вместо треугольника в диаграмме фигурирует семиугольник (рис. 25, г), для которого интеграл по кварковым переменным сходится, и, следовательно, можно непосредственно перейти к пределу D→4; при этом интеграл тождественно обращается в нуль. Кроме того, приведенные выше доводы показывают, что аномалия связана фактически с поведением фигурирующих в теории величин в ультрафиолетовом пределе, поэтому ожидается, что точность выражения (33.13) не будет нарушена непертурбативными эффектами.