Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Мы не рассматриваем здесь детального доказательства этого утверждения, а отсылаем читателя к литературе^49а). Но мы приведем альтернативный вывод [268], из которого виден ультрафиолетовый характер треугольной аномалии. Аксиальный ток представляет собой произведение двух полевых функций, взятых в одной и той же пространственно-временной точке; поэтому его можно определить в виде

^49а) Подробное обсуждение этого вопроса см. в обзорах [8, 107]. Треугольная диаграмма является единственной диаграммой, обладающей простыми аномалиями; но она приводит к вторичным аномалиям в квадратных и пятиугольных графиках. Триаксиальный треугольный график содержит аномалию, тесно связанную с аномалией аксиапьно-векторного графика.

A

_μ

^q

(x)

=

 

lim

^ξ→0

A

_μ

^gn

(x,ξ),

A

_μ

^gn

(x,ξ)

≡

q

⎧

⎪

⎩

x+

ξ

2

⎫

⎪

⎭

γ

^μ

γ

₅

q

⎧

⎪

⎩

x-

ξ

2

⎫

⎪

⎭

.

(33.21)

Однако в случае ξ≠0 эти выражения не обладают свойством калибровочной инвариантности. Для восстановления калибровочной инвариантности необходимо заменить выражения (33,21) (см. приложение И) выражением

A

_μ

^gi

(x,ξ)

≡

q

⎧

⎪

⎩

x+

ξ

2

⎫

⎪

⎭

γ

^μ

γ

₅

exp

⎧

⎪

⎩

ie

∫

^x+ξ/2

 

_x-ξ/2

𝑑y

_μ

A

^μ

(y)

⎫

⎪

⎭

q

⎧

⎪

⎩

x-

ξ

2

⎫

⎪

⎭

.

Дивергенция имеет вид

∂

_μ

A

_μ

^gi

(x,ξ)

=

 

lim

^ξ→0

{2im

_q

q

(x)+igA

_μ

^gi

(x,ξ)

F

_μλ

ξ

^λ

+O(ξ²)}.

Поскольку функция A^μ_ƒ(x,ξ) в пределе ξ→0 расходится как 1/ξ, второй член в правой части в этом пределе не равен нулю. Точные вычисления [80, 268] показывают, что, как и ожидалось, окончательный результат совпадает с (33.14).

Обсуждение вопроса о токах с аномалиями для любого типа взаимодействий можно найти в работе [263].

Аномалиями обладают не только аксиальные токи. След тензора энергии-импульса Θ^μ_μ также представляет собой аномалию, обусловленную тем, что в процессе перенормировки нарушается масштабная инвариантность . Этот круг вопросов подробно обсуждается в работе [60], а в контексте КХД — в работе [74]. Но эта аномалия довольно безобидна; действительно, ее анализ тесно связан с ренормализационной группой.

§ 34. Распады мезонов: эффекты, обусловленные массами кварков

1. Легкие кварки и радиационные распады

Рассмотрим радиационные распады мезонов^49б)

^49б) Подробное описание общих свойств этих распадов можно найти в книге [198].

π

⁺

→l

⁺

ν

_l

γ ,

K

⁺

→l

⁺

ν

_l

γ ,

l=e, μ,

которые тесно связаны с процессом π⁰→γγ. Мы рассмотрим первый из этих распадов; распад K+-мезона может быть исследован тем же методом с очевидными изменениями (замена s-кварка на d-кварк и т.д.).

Рис. 26. Процесс π→(lν_l)_вектор+γ.

Этот распад происходит в два этапа: на первом из них лептонный ток аксиален, а на втором он носит векторный характер. Последний связан с вакуумным средним (обозначение кинематических переменных см. на рис. 26):

T

_μν

^W

(p,k)

=

∫

𝑑

⁴

x

𝑑

⁴

y

e

^{i(x⋅p+y⋅k)}

⟨TV

^μ

(x)J

^ν

(y)∂A(0)⟩

₀

,

(34.1)

где, как и раньше, J - электромагнитный ток, а A и V определяются формулами

V

^μ

=

u

γ

^μ

d,

A

^λ

=

d

γ

^λ

u.

Использование уравнений движения приводит к равенствам

∂

_μ

V

^μ

=

i(m

_u

-m

_d

)

u

d,

(34.2)

∂

_λ

A

^λ

=

i(m

_u

+m

_d

)

d

γ

₅

u.

(34.3)

Дивергенция электромагнитного тока, конечно, равна нулю. Как и при изучении распада π⁰→γγ, рассмотрим вакуумное среднее

R

_μνλ

^W

(p,k)=i

∫

𝑑

⁴

x

𝑑

⁴

y

e

^{i(x⋅p+y⋅k)}

⟨TV

^μ

(x)J

^ν

(y)A

^λ

(0)⟩

₀

,

(34.4)

которое представим в виде

R

_μνλ

^W

(p,k)

=

ε

^μνλρ

p

_ρ

Φ

₁

+

ε

^μνλρ

k

_ρ

Φ

₂

+O(p³,k³).

(34.5)

Свертка этого выражения с компонентой импульса k_ν приводит к равенству Φ₁=0, но если массы кварков m_u и m_d различны, то требовать выполнения равенства p_μR^μνλ=0 нельзя. Вместо этого имеют место равенства

p

_μ

R

^μνλ

=

ε

^μνλρ

p

_μ

k

^ρ

Φ

₂

,

q

_λ

R

^μνλ

=

ε

^μνλρ

p

^λ

k

_ρ

Φ

₂

.

Таким образом, мы приходим к соотношению

p

_μ

R

^μαβ

=

q

_λ

R

^αβλ

.

(34.6)

Учитывая формулу (34.2), для левой и правой частей получаем

p

_μ

R

^μαβ

=

i(m

_b

-m

_u

)

∫

𝑑

⁴

x

𝑑

⁴

y

e

^{i(x⋅p+y⋅k)}

⟨TS(x)J

^α

(y)A

^β

(0)⟩

₀

,

(34.7)

q

_λ

R

^αβλ

=

i(m

_d

+m

_u

)

∫

𝑑

⁴

x

𝑑

⁴

y

e

^{i(x⋅p+y⋅k)}

⟨TP(0)J

^β

(y)V

^α

(x)⟩

₀

+a

^αβ

,

(34.8)

где использованы обозначения

S(x)≡

u

(x)d(x),

P(x)≡

d

(x)γ

₅

u(x),

а тензор a^αβ представляет собой аномалию. Если ввести тензор S^αβ по формуле S^αβ=p_μR^μαβ, то из уравнений (34.6) и (34.8) получим

T

_αβ

^W

+S

^αβ

=a

^αβ

.

Как показано в § 33, тензор a^αβ не зависит от масс кварков, и поэтому окончательно получаем

T

_αβ

^W

+S

^αβ

=

-1

2π²

ε

^αβρσ

p

_ρ

k

_σ

.

(34.9)

Если бы масса u-кварка m_u была равна массе d-кварка m_d, то тензор S^αβ был бы равен нулю и мы получили бы

T

_αβ

^W

=

T

^αβ

=

-1

2π²

ε

^αβρσ

p

_ρ

k

_σ

.

(24.10)

т.е. векторная часть распада π⁺→e⁺νγ с точностью до известных факторов была бы равна амплитуде распада π⁰→γγ (см., например, [ 8 ]). Поскольку массы u- и d-кварков не равны (m_u≠m_d) в соотношение (34.10) должны быть внесены поправки. В общем случае вычислить их не удается, но есть одна ситуация, для которой точный результат может быть доказан во всех порядках теории возмущений квантовой хромодинамики^49в). Если m_u=0, то преобразования

^49в) См. работу [38]. В отличие от случая аномалии неизвестно, влияют ли на этот результат непертрубативные поправки.

u→γ

₅

u,

d→d