Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

26 декабря 1984 года. О ханойской башне.

(1) Где-то на протяжении прошедшей недели Дима научился также и делить дроби.

(2) Жене (нашей) подарили надень рождения новый вариант ханойской башни. Он называется «игра ранжир», и вместо кружочков в ней нужно расставлять фишки с цифрами — не до 5, как в венгерской игрушке, а до 8 — причём нельзя большую цифру ставить на меньшую. Я бы сказал, что 8 фишек — это чересчур: чтобы решить задачу, нужно сделать 255 ходов.

Дима с Петей, увидев игру, мгновенно догадались, что это модификация ханойской башни.

После этого у Димы вновь обострился интерес к этой игре. Он провёл с ней несколько дней и, наконец, пришёл ко мне с заявлением, что он знает оптимальный алгоритм. Огромные трудности у него вызвала формулировка алгоритма. Он никак не мог понять, с какого конца начать, какими словами выразить свою мысль, и всё только повторял бессмысленно:

— Сначала вот эту — сюда, потом вот эту — сюда, потом вот эту — сюда, вот эту — сюда, вот эту — сюда…

При этом я видел, что сами действия он делает совершенно правильные. Большого труда и терпения стоило получить от него настоящую формулировку. Алгоритм оказался в самом деле оптимальным. Он состоит в следующем:

(а) ходить надо по очереди единичкой (или самой маленькой плашечкой) и не единичкой;

(б) ход не единички каждый раз определяется однозначно, так как её нельзя ставить на единичку;

(в) единичкой надо всегда ходить по циклу.

Я обсудил с ним проблему необходимости доказательства, но сейчас о нём нечего даже и помышлять. Хочу заметить, что я сам в своё время не придумал ни алгоритма (я его где-то вычитал), ни доказательства (его после моего вопроса придумал Дима Бугаенко).

Всего в этом семестре занимались 6 раз, не считая разговоров «между делом».

О первоклассниках

Здесь собрано несколько разрозненных заметок о двух первых классах: в течение одного полугодия я вёл кружок в Димином классе, и в течение месяца работал преподавателем в «экспериментальном» классе. Если бы я стал вести что-то вроде дневника на эту тему, то как минимум 95 % его содержания было бы посвящено вопросам дисциплины. Без наведения порядка в классе, без того, чтобы дети перестали баловаться, драться, петь, бегать и… (дальше следует длинный список глаголов, который каждый сможет продолжить сам), короче, без создания в классе нормальной рабочей обстановки невозможно сдвинуться ни на шаг. Каким образом добиться этого и оставить в то же самое время возможность для поиска, для творчества — это великая загадка; только настоящие виртуозы на это способны. Я к ним не только не отношусь, но даже и на версту не приближаюсь. Поэтому буду писать только о том, в чём я хоть что-то смыслю.

Откуда берутся способности? Вот вопрос, который всех интересует! Это я развил Димины способности к математике с помощью кружка, или же, наоборот, он уже родился способным, а кружок протекал так интересно как раз благодаря этому? Я сам склоняюсь ко второму варианту. Роль кружка состояла в том, чтобы он узнал о том, что существует математика — активная, весёлая, захватывающая. Другой вопрос — как часто встречаются талантливые дети и сколь многие из них так и проходят мимо своего призвания, так никогда и не узнают о том, что могла предложить им жизнь? Вот как раз об этом я и хочу сказать: в первом попавшемся классе я встретил мальчика, который был отчётливо способнее Димы (и ведь это при том, что никто с ним специально не занимался). Звали его Глеб. Учился он весьма средне; что делает сейчас, не знаю. Вот несколько наблюдений.

1. Задача про С²₅ (см. главу 6). Часть ребят вообще не поняла условия; другие нашли всего 3–4 решения; третьи якобы «нашли» 24–26 вариантов, не замечая повторений; один только Глеб нашёл ровно 10 решений и твёрдо заявил, что больше нет. (Правда, в качестве объяснения сказал, что 5 + 5 = 10.)

2. Фокус, в котором складывались закрытые числа (см. стр. 141), он разгадал тут же на занятии. Его решение тоже, как и Димино, основывалось на периодичности таблицы, а не на дополнении до 20.

3. Ещё один фокус, основанный на том, что сумма цифр на противоположных гранях кубика равна 7 (см. стр. 143), он тоже разгадал сразу. Мне надолго запомнился его сосредоточенный взгляд: он изучает кубики, смотрит, что лежит сверху, потом что лежит снизу, лицо озаряется…

Мне кажется характерным также и то, что как-то раз я объявил его «чемпионом», поскольку он быстрее всех что-то вычислил, но он в ответ признался, что его вычисление было ошибочным.

Что такое задача? После одного из занятий Глеб задал мне такую задачу (рис. 132):

Рис. 132.Как Деду проехать к Бабе?

— Вот здесь озеро (рисует). С этой стороны живёт Баба, а с этой стороны — Дед. Вот здесь растёт камыш. Вот здесь лежит огурец. А в озере живёт чёрт, он никого не пускает. А вокруг озера тоже пройти нельзя, там лес. Как Деду проехать к Бабе?

— А лодка у Деда есть?

— Нет.

— А обойти лес вокруг?

— Э-э, нет, так нельзя!

— …?

— Сдаётесь?