Малыши и математика. Домашний кружок для дошкольников

Как ни странно, Дима решил эту задачу с помощью суммирования бесконечного ряда. Вот как это произошло. Он стал долго и напряжённо подсчитывать, сколько километров муха пролетит до первой встречи с Ь; получил 200 км. Затем стал считать, сколько она пролетит до встречи с а; нашёл 66²/₃ км; затем — до второй встречи с b: 22²/₉ км. Тут он сообразил, что ряд получается бесконечным, и закричал:

— Ой, папка! Так ведь бесконечно будет!

— Да.

— Значит, задача не решается?

— Ну почему же? Во-первых, можно придумать другой способ решения, хитрый. А, во-вторых, иногда и бесконечную сумму можно сложить.

— Как это?

(4) Тут мы отвлеклись от исходной задачи, и я написал Диме такую сумму:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +… +,

объяснив, что количество слагаемых бесконечно. Я спросил:

— Как ты думаешь, сколько получится?

И тогда произошло нечто совершенно удивительное. Дима, ни секунды не размышляя, пожал плечами и ответил:

— Два…

Я — после паузы:

— Почему?

— Ну смотри. Сначала до двух не хватает половины. Потом четверти. Потом одной восьмой. И так всё время будет.

То есть по существу дал совершенно правильное доказательство (рис. 131).

Рис. 131.Суммирование бесконечного ряда 1 + 1/2 + 1/4 +… «Видно», что результат равен 2: после каждого шага расстояние до числа 2 уменьшается вдвое.

Я с ним согласился, повторил его рассуждения более подробно, потом нарисовал приложенные друг к другу отрезки длин 1, 1/2, 1/4…, и по казал то же самое рассуждение на рисунке. Главным образом я пытался сделать вид, что ничего особенного не произошло, хотя сам был несколько взволнован, и у меня даже слегка дёргались колени. Так что же получается — что и в самом деле гений?

Следующий вопрос:

— А у нас муха каждый раз во сколько раз меньше пролетала?

Дима задумался и сказал:

— В три.

(Я тут, видимо, слегка опередил события: Дима сам ещё не догадался, что расстояние каждый раз уменьшается в одно и то же количество раз. Но после моего вопроса заметил такую закономерность — разумеется, без доказательства.) Я написал следующий ряд:

1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 +…

— Сколько теперь получится?

— Три, — всё так же не задумываясь ответил Дима (видимо, опираясь на чисто формальную аналогию).

У меня немного отлегло от сердца. Нет, всё-таки не гений; нормальный способный ребёнок. Я засмеялся и сказал, что, мол, как же так — каждое слагаемое меньше, а сумма больше? Дима сначала не понял, о чём я говорю; я объяснил; он ответил:

— Ну и что? — но потом всё же задумался.

Стал считать, используя прежний приём, т. е. подсчитывая, сколько не хватает до двух, а я записывал: 2/3, 5/9, 14/27…

Вскоре он догадался, что в пределе не хватает половины, и, значит, получится полтора. Я не стал настаивать на доказательстве, хотя отрезки мы всё-таки нарисовали.

На самом деле нужно было проверить, что расстояние до полутора каждый раз уменьшается в три раза. Мне ещё долго после этого ответ «полтора» казался непонятным (а только угаданным). — Дима.

(5) Возвращаемся к задаче о мухе.

— И, значит, что теперь нужно помножить на полтора? — спросил я.

Дима уставился на меня в недоумении: он явно забыл, от какой печки мы с ним танцевали. Потом сказал:

— А-а… — и надолго задумался.

После чего, наконец, ответил:

— Двести километров. Значит, будет триста километров.

— Значит, какой ответ?

— Триста километров.

После этого я ему рассказал настоящее решение: велосипедисты ехали до встречи 3 часа; значит, муха летала туда-сюда тоже 3 часа, причём со скоростью 100 км/ч; получается

100 км/ч ∙ 3 часа = 300 км.

Дима никакого особого восторга не проявил.

Думал-думал, что-то такое придумывал, а оказалось, что всё зря, можно было решить гораздо проще. — Дима.

Я засомневался, понял ли он моё решение, и дал ему модификацию задачи: скорости велосипедистов — 20 и 40 км/ч, а скорость мухи 80 км/ч. Оказалось, что он всё понял, потому что действия производил правильные. Однако времени было уже полдесятого вечера, и он сначала никак не мог поделить 180 на 20 (всё получал 8), а потом не мог умножить 80 на 5 (получал 450). Так что на этом мы занятие кончили, хотя ещё полчаса после этого он приставал ко мне с вопросами, почему в школе не учат математике так же, как я. И трогательно, и обидно до слёз. Господи, если бы можно было ограничиться нашим одним занятием в неделю

26 ноября 1984 года. Выяснилось, что Дима всё же не понимал, что такое сумма бесконечного ряда, и считал оба своих ответа приближёнными.

19 декабря 1984 года. Сегодня, после большого количества проб, ошибок и путаницы, Дима наконец научился умножать дроби.