Математика для гуманитариев: живые лекции

Сумма двух точек плоскости строится так. Берем век­торы, порождаемые нашими точками, и складываем их по правилу параллелограмма.

Вычитание от сложения практически не отличается:

(х + yi) — (z + ti) = (х + yi) + (—z — ti) = (x — z) + i(y — t).

Вектор, порождаемый точкой (z.t), развернется в другую сторо­ну туда, где достроен смежный параллелограмм (рис. 146).

Итак, операции плюс и минус определены и всегда осуществи­мы. Также видно, что у каждого числа есть противоположное к по­му: (х + yi) и (—х — yi). С точки зрения сложения и вычитания система уже построена и ведет себя очевидным образом. Теперь переходим к гораздо более интересной теме. А именно: умноже­ние и деление комплексных чисел.

Рис. lJ_t6. Вычитание комплексных чисел.

Я хочу узнать, как должно выглядеть умножение

(х + yi)(z + ti).

Будем пользоваться распределительным законом, который мате­матики называют дистрибутивным. Проще говоря, разрешается раскрывать скобки: а(Ь + с) = аЬ + ас (как учили в школе).

А также (о, + Ь)(с + d) = ас + Ьс + ad + bd.

Правило дистрибутивности вынуждает нас так умножать. По­тому что так делается в вещественных числах. Давайте попробуем перемножить два комплексных числа

(х + yi)(z + ti) = xz + xti + zyi + yti².

Теперь давайте вспомним, что г² = — 1,

(х + yi)(z + ti) = xz + xti + zyi + yti²

=

= xz + xti + zyi — yt = (xz — yt) + (xt + yz)i.

Мы научились умножать. Произведением точек с координатами (х. у), (z.t) служит точка на плоскости с координатами (xz — yt, xt + yz).

Но этого для нас мало, потому что мы не видим, где «живет» на плоскости точка с такими координатами. Мы должны увидеть

ее, попять, как ее построить. Как получить ее из векторов, поро­ждаемых точками (ж,у), (z,t). Какие у этих векторов характери­стики? У них есть длины и углы поворота (отклонения) от оси х. Пользуясь этими данными, мы должны получить новый вектор (xz — yt, xt + yz).

Нам нужно провести некоторое исследование. Для этого разра­ботаем терминологию.

У комплексного числа точки на плоскости первая коорди­ната называется вещественной частью, а вторая мнимой.

Мни­мой ее называют потому, что, когда начинали с комплексными чи­слами общаться, считали, что числа i не существует. Существуют только вещественные числа. Остальные не существуют, они как бы у нас в воображении, imaginary numbers. С тех пор у комплексных чисел есть действительная и мнимая части.

Рассмотрим еще такую конструкцию. Для каждого вектора рисуется вектор, симметричный относительно вещественной оси. Точка (х:у) перейдет в точку (х, —у) (см. рис. 147).

Рис. Ц7. Векторы, симметричные относительно оси абсцисс.

Числу х + уг естественным образом сопоставляется число x — yi, которое лежит по другую сторону от вещественной оси.

Числа вида (х + уг) и (x — yi) называются сопряженным,и. Чему равно произведение этих чисел?

(х + yi)(x — yi) = х² + у².

Что такое х² + у² в геометрическом смысле? Это длина век­тора, обозначающего наше комплексное число, возведенная в ква­драт. Квадрат длины комплексного числа, рассматриваемого как вектор, равен произведению его самого и ему сопряженного.

И еще одна выкладка. Интересно, что получится, если я перем­ножу векторы, сопряженные к нашим исходным векторам:

(х — yi)(z — ti) = (xz — yt) — (xt + yz)i.

Вещественная часть не изменилась, а мнимая поменяла знак. Было (xz — yt, xt + yz), стало (xz — yt, —xt — yz). Получается, что если мы берем произвецение двух сопряженных, то полу­чается сопряженное к их произвецению (рис. 148).

Рис. lJ_t8. Математики сказали бы так: умножение комплексных чисел «уважает» операцию сопряжения, и наоборот. Можно вначале сделать сопряжение каждого сомножителя, а потом перемножить их. а можно вначале перемножить, а после сделать сопряжение перемноженных. Ре­зультат будет одинаковым.

Хотелось бы уметь делить одну точку на плоскости на дру­гую точку. Это тоже совсем не сложно, если, конечно, не делить на ноль. Но на ноль мы и раньше не могли делить. Так что ни­чего удивительного в том, что мы не будем делить на 0, нет. Зна­чит, так. Попробуем разделить на число, которое не равно нулю.

Используем основное свойство дроби: дробь не изменится, если и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число. В качестве такого числа мы возьмем число, сопряженное к z + ti: