Математика для гуманитариев: живые лекции

Для простоты изложения по ходу дела точки плоскости я буду называть комплексными числами, а комплексные числа точка­ми плоскости. Это позволит стереть некоторый налет «мнимости», остающийся в выражении комплексные числа.

Пусть qi = х + yi, qi = z + ti два комплексных числа, вто­рое из которых не равно ни нулю, ни единице, но при этом лежит на единичной окружности (то есть имеет модуль, или длину, рав­ную единице). Второе число, q-2, мы на время всего рассуждения зафиксируем, а первое число, qi, будем «перебирать», подставляя всевозможные комплексные значения.

С помощью формулы Ц\Ц2 мы сконструировали некоторое пре­образование точек плоскости: любая точка сц при этом преобра­зовании переходит в точку Ц\Ц2- Ключевое утверждение состоит в том, что у этого преобразования будет только одна неподвижная точка: q\ = 0 (то есть только одна точка останется на месте).

Проведем доказательство этого утверждения. Допустим, какая- то точка q\ осталась на месте. Это означает, что q\ = qiq2- Пере­несем оба выражения в левую часть, получим:

71 (1 - ?2) = 0.

Мы договорились, что q

2 ф 1, а тогда 1 — q2 ф 0, и на этот множитель можно сократить обе части равенства. Следовательно, q\ = 0, что и утверждалось. Таким образом, наше преобразование плоскости является движением (что было установлено выше) и оставляет на месте ровно одну точку, а именно точку q\ = 0.

Один из примеров движения плоскости ровно с одной неподвиж­ной точкой хорошо известен: это — поворот на некоторый угол относительно неподвижной точки. Но, может быть, одними пово­ротами дело не ограничивается? Этот вопрос исследовал француз­ский математик М. Шаль. Оказалось, что ничего, кроме поворо­тов, в этой ситуации быть не может. Принимая его исследования на веру,33 делаем вывод, что изучаемое преобразование является поворотом.

Итак, это движение — поворот. Остается вопрос, на какой угол мы повернули? Для ответа на этот вопрос вспомним, что число q2 лежит на окружности, то есть равно cos р + г sin р при некотором значении угла р.

Я утверждаю, что наше движение является поворотом именно на угол р. Потому что точка qi = 1 перешла в точку qiq2 = cos р + + i sin 9?. А раз единица в нее перешла, значит, мы повернули плос­кость на угол р. Ведь комплексное число q\

= 1 + 0* имело в на­чальный момент нулевой угол поворота.

Таким образом, любая точка переходит в точку, которая полу­чается поворотом па угол р соответствовавшего исходной точке вектора.

В частности, если я беру некоторый вектор и умножаю его на вектор cos р + i sin p, то он переходит в вектор, повернутый на угол р. Особый важный случай это умножение на вектор cos7r/2 + *sin7r/2, то есть просто на число i. Умножение вектора на i приводит к тому, что этот вектор поворачивается на 90°. Это особенно важно для тех технических вузов, где изучают ТОЭ (теоретические основы электротехники). Злые языки даже утвер­ждают, что перед основным экзаменом по ТОЭ там производится предэкзамен: у студента, заснувшего на лекции, над ухом стре­ляют хлопушкой и грозно спрашивают: УМНОЖЕНИЕ на *? Он должен сразу ответить: ПОВОРОТ НА 90 ГРАДУСОВ! (рис. 152).

Рис. 152. Умножение на i это поворот на 90°.

И окончательно. При умножении комплексных чисел углы складываются. Это правило, которое мы вывели, позволя­ет нам увидеть все арифметические операции над комплексными числами. А именно, при сложении комплексных чисел складыва­ем их как вектора по правилу параллелограмма. При умноже­нии длины векторов перемножаются, а углы поворотов скла­дываются. Слегка почесав в затылке, можно даже сказать так: при делении комплексных чисел их длины делятся, а углы поворота вычитаются друг из друга.

Сейчас будет бонус. Наконец-то мы запомним две зловредные формулы.

Давайте возьмем еще одну точку, лежащую на единичной окружности: сояф + isint/j. Куда она перейдет при умножении на cos р + i sin 93?

Она перейдет в точку той же окружности, но повернется на угол р. То есть суммарный угол для произведения будет (ф + ip). Получается, что произведение

(cos ip + i sin ip) (cos ф +

i sin ф)

равно cos(p + ф) + i sin(9? + ф).

Теперь раскроем скобки:

(cos ip + i sin ip) (cos ф + i sin ф) =

= cos if cos ф + cos pi sin ф + i sin ip cos ф + i sin pi sin ф =

=

(cos pcos ф — зтрзтф) + *(cos рзтф + sin93cos ф).

С другой стороны, это произведение равно cos(p + ф) + i sin(9? + ф). Получается, что

cos(p + ф) + i sin(9? + ф) =

= (cos рcos ф — зтрзтф) + *(cos рзтф + sin93cos ф).

Но если два комплексных числа равны друг другу, то веще­ственная часть равна вещественной, а мнимая — мнимой:

cos (р + ф) = cos^cos'i/; — зтрзтф, sin(9? + ф) = cos р sin ф + sin р cos ф.

Это и есть те «зловредные» формулы, которые доставляли вам головную боль в школе, всем поголовно. Они очень легко выводят­ся с использованием комплексных чисел.