Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

Квантовая теория поля (которую в литературе называют QFT – quantum field theory) не имеет аналогов в истории науки т.к., с одной стороны, она описывает некоторые данные с поразительной точностью, а с другой основана на некорректной математике. Эта теория основана на двух главных принципах: 1) она исходит из классической математики; 2) она исходит из понятия квантованного поля на пространстве-времени. В предыдущем разделе я приводил аргументы, что самая фундаментальная квантовая теория не может исходить из 1). А сейчас приведу аргументы, что такая теория также не может исходить из 2).

Что такое классическая теория поля? Рассмотрим, например, классическую электродинамику. Она описывает классическое электромагнитное поле функциями

E(t,x) и

B(t,x), где (t,x), – координаты пространства Минковского. В природе никаких пространств нет; есть только частицы и когда их много, то возникает иллюзия, что они в каком-то пространстве. В частности, пространство Минковского – только чисто математическое понятие. Мы знаем, что электромагнитное поле состоит из фотонов. В приближении когда оператор координаты работает, каждый фотон имеет свои координаты. Но в классической электродинамике каждый фотон по отдельности не рассматривается, а все фотоны вместе описываются функциями E(t,x

) и B(t,x). Это аналогично тому, что статистическая физика не рассматривает каждую частицу в отдельности, а описывает ансамбли из многих частиц функциями (температурой, давлением и др.) которые не имеют смысл для каждой частицы. Ясно, что такое описание может быть лишь приближенным.

Теперь обсудим QFT. В квантовой теории есть информация о каждой отдельной частице. В частности, в приближении когда оператор координаты работает с хорошей точностью, каждая частица описывается своей координатой. В этом приближении волновая функция системы N частиц описывается волновой функцией ψ(x

₁, x₂…x_N

) и нет координаты x общей для всех частиц.

В учебниках по QFT логика такая: т.к. специальная теория относительности сделана на пространстве Минковского, а группа Пуанкаре является группой преобразований этого пространства, то в квантовой теории преобразования должны описываться представлениями группы Пуанкаре, а значит генераторы таких преобразований должны удовлетворять коммутационным соотношениям алгебры Ли группы Пуанкаре. Такой подход в духе Эрлангенской Программы Феликса Кляйна (Felix Klein).

Здесь есть такая аналогия с ситуацией ОТО. Эрлангенская Программа была предложена еще раньше чем ОТО – в 1872 г., когда квантовой теории не было и в помине. Но, как отмечено выше, с точки зрения квантовой теории, понятие background space не имеет смысла так как нет координаты x общей для всех частиц. Но это понятие по-прежнему широко используется в так наз. фундаментальных квантовых теориях – QFT и string theory.

Мой научный руководитель Леонид Авксентьевич Кондратюк объяснил мне, что логика должна быть противоположная той, которая применяется в духе Эрлангенской Программы. То, что обычно называют генераторами – это как раз и есть основные физические операторы – энергия, импульс, операторы угловых и Лоренцевых угловых моментов. Симметрия Пуанкаре не потому, что есть пространство Минковского (которое является чисто классическим понятием), а потому, что основные физические операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Пуанкаре и поэтому на классическом уровне (и только на этом уровне) возникают преобразования и пространство Минковского.

Т.е., на фундаментальном квантовом уровне симметрия задается не пространством, а алгеброй коммутационных соотношений и на этом уровне никаких пространств и его преобразований нет. Они возникают только в классическом приближении т.к. в этом приближении пространство появляется не как абстрактное пустое пространство, а как пространство событий для тел. Может быть, эта идея неявно есть в статье Дирака [5], но там она не сформулирована так явно как у Леонида Авксентьевича. Когда позже я познакомился со Скиффом Николаевичем Соколовым, то он тоже сказал, что пришел к такой идее.

В QFT элементарные частицы описываются неприводимыми представлениями алгебры Пуанкаре. В таком описании, координат и пространства Минковского вообще нет, а есть только импульсы, угловые моменты и спины. При этом, имеется вероятностная интерпретация так как операторы физических величин являются самосопряженными операторами. Но, как доказано в теории представлений, с математической точки зрения часто имеется соответствие между представлениями некоторой алгебры Ли самосопряженными операторами и унитарными представлениями группы Ли соответствующей этой алгебре.