Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Гаусс был одним из величайших математиков в истории, одним из тех, кого не колеблясь ставят рядом с Фалесом, Пифагором, Евклидом, Архимедом, Аль-Хорезми, Декартом, Эйлером, Ньютоном, Лейбницем, Риманом, Кантором, Пуанкаре, фон Нейманом, Гротендиком и еще несколькими. Он был настолько блистателен и обладал таким творческим потенциалом, что современники отказывались верить, что его интеллект порожден биологически нормальным человеческим мозгом. В некотором роде он был Альбертом Эйнштейном своего времени.

И закончилось все, кстати, ровно так, как и должно было (абсолютно как с Эйнштейном): когда Гаусс умер, кто-то счел весьма хитроумным изъять его мозг в надежде проникнуть в его секреты. Два века спустя мозг Гаусса так и лежит в банке, бережно хранимый в запасниках Гёттингенского университета. Никто не нашел в нем ничего интересного.

Согласно легенде, в возрасте семи лет маленький Гаусс очень напугал своего школьного учителя. Тот задал классу вычислить сумму целых чисел от 1 до 100, полагая, что так подарит себе добрых 25 минут тишины. Он не предусмотрел, что один из мальчишек ответит через несколько секунд.

Мне было 17 лет, когда преподаватель математики нашего выпускного класса рассказал эту историю, и она сильно впечатлила нас. Мы не понимали, как Гаусс мог посчитать настолько быстро. По сравнению с таким гением мы все чувствовали себя несколько жалко.

Объяснение нашего преподавателя заключалась в том, что здесь есть «хитрость». Мы хотим посчитать сумму целых чисел от 1 до 100, то есть выполнить сложение

1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100.

Хитрость в том, чтобы умножить эту сумму вдвое, дважды посчитав каждое целое число от 1 до 100, и выстроить эту двойную сумму в две строки следующим образом:

1 + 2 + 3 + 4 +… + 97 + 98 + 99 + 100 + 100 + 99 + 98 + 97 +… + 4 + 3 + 2 + 1.

Что за ерунда! Зачем считать эту сумму дважды? Зачем так выстраивать числа? Может, это и странно, но мы в полном праве так сделать. В любом случае каждое число от 1 до 100 появляется здесь дважды. Значит, двойная сумма в два раза больше числа, которое мы хотим найти.

А теперь посмотрите не на строки, а на столбцы. У нас 100 столбцов, и в каждом из них по два числа, сумма которых всегда равна 101. Это может показаться волшебством, но это так. Значит, двойная сумма равна 100 умножить на 101, то есть 10 100. Нужное нам число – половина от этого, то есть 5050.

Не надо стыдиться, если вам понадобится перечитать это рассуждение несколько раз, прежде чем счесть его убедительным. Как и в любом математическом рассуждении, в нем есть что-то странное и пугающее. Пока нам не удается счесть его очевидным, приходится расшифровывать его строчка за строчкой, что требует времени и концентрации.

Этапы рассуждения довольно просты и, по идее, позволят вам прийти к трем выводам.

1. Это верное доказательство факта, что сумма целых чисел от 1 до 100 равна 5050.

2. Вполне правдоподобно, что кто-то искусный в устном счете может выполнить это рассуждение мысленно за несколько секунд.

3. Такая мысль не могла зародиться в голове семилетнего или, в случае Тёрстона, пятилетнего ребенка.

Во всяком случае такие выводы в 17 лет сделал я сам. Я также заключил, что математика создана не для меня, потому что она предназначена только для этих особых людей, гениев, у которых мозг работает не так, как мой, и может генерировать столь невероятные идеи.

Преподаватель в моем выпускном классе был прекрасным педагогом, я высоко его ценил, и он научил меня очень многому. Но, говоря нам о «хитрости», в тот день он оказал нам плохую услугу.

Нет никакой хитрости. Не было и не будет. Верить в существование хитростей так же токсично, как верить в существование истин, по природе своей контринтуитивных. Это два главных предрассудка в идеологии Системы 2 – вот эта вера, что наша интуиция ничего не стоит и мы должны механически применять методы, которых не понимаем.

Разумеется, бывает так, что что-то происходит и мы не понимаем почему. И даже довольно часто. Но это всегда временная ситуация, которая ждет объяснения.

Верить, что на структурном уровне существуют какие-то хитрости, – значит согласиться с мыслью, что есть вещи, которых мы никогда не поймем, и их нужно выучить наизусть. Путать проверку доказательства строчка за строчкой с его интуитивным пониманием. Вступить в подчиненные отношения с Системой 2. Согласиться на нечестное и унизительное для нас распределение ролей: великие гении находят всякие хитрости, а вот мы годны только на то, чтобы проверить, что сложение верно.

Если все это только для того, чтобы проверить, что сумма целых чисел от 1 до 100 действительно равна 5050, – да плевать на это, откровенно говоря. Нам важно научиться думать как Гаусс и Тёрстон.

Ловушка языка

Чтобы понять, что скрывается за математическими «хитростями», проще всего посмотреть на рецепт бананового кекса, например такой: