Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Именно это усилие воображения позволяет выбраться из ловушки языка и решать математические задачи. Эта деятельность лежит в основе Системы 3. Она подразумевает свободное стремление увидеть, без оговорок и полумер, с полным физическим вовлечением.

Если, читая слова «сумма целых чисел от 1 до 100», вы удовлетворитесь невнятным образом, возникшим в вашем уме, вы ничего не увидите.

Не позволяйте словам убаюкать вас, заставьте себя подумать, что эта сумма физически присутствует перед вами. Заставьте себя вообразить целые числа от 1 до 100 из плоти и крови, воплощенные в реальном мире и смирно выстроившиеся перед вами. Если вам удастся их увидеть и вы дадите себе время как следует понаблюдать за ними, вы найдете способ вычислить их сумму.

Чтобы дать себе шанс догадаться самим, можете сделать перерыв, прежде чем продолжать читать.

Видеть масштабно

В статье «О доказательстве и прогрессе в математике», уже процитированной в главе 6, Тёрстон дает внезапный совет – больше я такого не видел нигде – насчет размера математических объектов.

Представляя их у себя в голове, мы можем выбрать, видеть ли их «маленькими предметами у нас в руках», «конструкциями в человеческий рост» или же «конструкциями, которые поглощают нас и внутри которых мы можем перемещаться». С логической точки зрения это вроде бы не должно совершенно ни на что влиять. Но Тёрстон утверждает, что размер имеет решающее значение:

«Мы склонны эффективнее мыслить более масштабными образами, как будто наш мозг воспринимает более крупные вещи серьезнее и тратит на них больше ресурсов».

А что, если ошибка людей, убежденных, что у них нет никакой геометрической интуиции, просто-напросто в том, что они представляют себе слишком маленькие фигуры, на которых ничего не разглядеть?

В любом случае замечание Тёрстона отлично применимо к слонам: представьте маленького слоника, помещающегося у вас на ладони, а теперь – слона в натуральную величину, которому, похоже, неудобно и внимание которого вы совершенно не хотите привлечь, – это мобилизует ваши когнитивные ресурсы совершенно по-разному.

Ловушка языка – предельный вариант явления, описанного Тёрстоном. Выражение вроде «сумма целых чисел от 1 до 100» – это, по сути, удобный способ обозначить совершенно конкретный математический объект. Это выражение позволяет вам об объекте говорить, но это еще и способ от него избавиться, поместить на расстоянии, чтобы он вам больше не докучал.

Вы думаете, что видите эту сумму, но на самом деле вы ее не видите. Вы не чувствуете ее присутствия. Не принимаете ее всерьез.

Эту сумму можно написать и как 5050. Великое преимущество десятичной записи – в ее компактности. Неброская, практичная, ее легко произнести и легко написать. Недостаток такого мысленного представления – тот же, что и преимущество: число помещается на расстоянии, становится крошечным, почти невидимым.

Математическое равенство всегда заявляет, что две внешне различных записи на самом деле означают один и тот же объект. Если вы позволяете языку убаюкать вас и путаете слова с тем, что они обозначают, вы не оставляете себе шанса «увидеть» математические равенства.

Единственный способ этого добиться – выйти за пределы слов. Заменить «сумма целых чисел от 1 до 100» на «1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100» – отличный первый шаг. Возможно, у вас возникнет впечатление, что вы видите эту сумму более осязаемо, более конкретно. Но это все еще будет только иллюзия. На самом деле вам пока не хватает значительной части чисел – тех, что скрыты за многоточиями. Математические символы как слова – они принадлежат языку. Нужно выйти и за их пределы тоже.

Чтобы суметь увидеть эту сумму во всей ее целостности, без опущений и сокращений, принять ее всерьез и предоставить ей заслуженное место, нужно выбраться из ловушки языка и вообразить эту сумму физически присутствующей, в натуральную величину, прямо здесь, перед вами.

Прежде чем воображать всю сумму, начнем с одного числа, например 3. Представить число 3 присутствующим в физическом мире довольно просто: достаточно вообразить 3 предмета, как в начальной школе, когда детей просят мысленно взять 3 апельсина. Это детское отношение к числам и требование материального взаимодействия с абстрактным и есть правильное состояние сознания для занятий математикой. Видя 3 апельсина вместо и в качестве числа 3, вы начинаете выбираться из ловушки языка. Вы перестаете путать написание числа с его значением.

Целое число всегда чему-нибудь да равно.

Тем не менее не советую использовать апельсины, чтобы представить сумму целых чисел от 1 до 100: вас завалит кучей апельсинов, и упорядочить их будет непросто.

Лично я считаю, что гораздо проще вообразить этот расклад с кубиками. Я могу представить каждое число как башню из кубиков и поставить эти башни в ряд от 1 до 100.