Читаем Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики полностью

Довольно сложно точно нарисовать то, что я вижу в голове. Мой мысленный образ не идеально четкий, да и башня выходит слишком большой, чтобы поместиться на странице. В итоге я могу нарисовать только приблизительное подобие. Спереди это выглядело бы как-то так:



Этот рисунок неверен, но это и неважно. Важно знать, в чем именно он неверен. В данном случае не хватает кубиков. Вместо 18 кубиков в ширину и 18 в высоту, как на моем рисунке, в башне должно быть 100 кубиков в ширину и 100 в высоту. Об этом придется помнить. Несмотря на этот недостаток, такой рисунок кажется мне правильным способом поделиться мысленным образом (если бы я нарисовал все кубики, вы бы там ничего не разобрали).

Готово! Правда же, все просто?

Математики склонны считать, что доказательство завершено, как только почувствуют, что у них в голове возник правильный образ. Так же и шахматисты останавливают партию, не доводя до мата, потому что видят выигрышную позицию.

Но давайте все же не будем торопиться и доведем партию до конца. Если у вас в голове возникла такая картинка, сложно не увидеть на ней треугольник. Число, которое мы ищем, то есть общее число кубиков – это площадь треугольника. А для вычисления этой площади существует очень простая формула, уровня начальной школы. Вот два способа завершить партию в зависимости от того, знаете вы формулу или нет.


1. Вы знаете формулу. Чтобы рассчитать площадь треугольника, нужно умножить основание на высоту и разделить на 2. Здесь основание равно 100, высота равна 100. Перемножив их, мы получаем 10 000, разделив на 2, получаем 5000.



Почти готово. Мы в точности воспроизвели ошибку, которую сделал Тёрстон в пять лет. Хороший признак, мы мыслим верно.

Ошибка в том, что мы забыли половинки кубиков, которые находятся выше диагонали и не были учтены в площади треугольника. Мы забыли 100 половинок, значит, надо добавить 50: и вот мы получили 5050.


2. Вы не знаете формулы. Тем лучше, вы изобретете ее заново. Присмотревшись, вы можете понять, что треугольник – это половина прямоугольника. Если вы возьмете исходную треугольную стопку (обозначена белым) и ее копию (обозначена серым), перевернете копию и поставите ее вверх дном на исходную стопку, получится что-то примерно такое:



У вас получился прямоугольник шириной 100 и высотой 101, а значит, образованный из 100 × 101 = 10 100 кубиков. Значит, в каждом треугольнике 5050 кубиков. Пресловутая «хитрость» с удвоением суммы и ее странной записью оказалась просто способом разложить площадь прямоугольника на два треугольника:

1+ 2 + 3 + 4 +… + 97 + 98 + 99 + 100

+ 100 + 99 + 98 + 97 +… + 4 + 3 + 2 + 1.

Вероятностное кун-фу

Мячик и бита, сумма целых чисел от 1 до 100: я люблю эти детские задачи, потому что их можно рассказать простыми словами, и они позволяют бросить взгляд на пропасть, разделяющую официальную математику, находящуюся в плену языка, и математику тайную, происходящую в голове.

В обоих случаях простого усилия по визуализации достаточно, чтобы сделать очевидным вычисление, которое 99 % людей совершенно не считают очевидным.

Это не всегда так просто. Визуализации не всегда достаточно, и перед нами не стоит задача избавиться от механического дедуктивного рассуждения. Чтобы понимать математику, нужно тренироваться чередовать воображение и язык, интуицию и логику, взгляд вблизи и отстранение, фантазии и расчет.

Кроме того, я не хотел бы создать у вас впечатление, что все математические задачи являются числовыми, а любая интуиция имеет геометрическую природу.

Математические объекты бывают самой различной природы, и их интуитивное понимание мобилизует разные области воображения. В таблице ниже перечислены некоторые основные области математики. Это неполный и упрощенный список, но он позволяет составить первое представление:



У каждой из этих областей свой лексикон и свои формы интуиции. Все равно что они соответствовали бы разным способам использовать наше тело, разным зонам мозга, разным способам фокусировать внимание. Они могут создать впечатление, что при их изучении говорят о разном, но на самом деле эти области лишь дают разные точки зрения на одну и ту же реальность – математическую.

Когда приобщаешься к этому опыту, единство математики порой застает врасплох. И все же зачастую математические открытия – это мосты, переброшенные между двумя разными интуитивными озарениями.

На самом элементарном уровне мы только что сделали именно это: геометрическая формула (площади треугольника или прямоугольника) позволила нам решить задачу по арифметике (сумма целых чисел от 1 до 100).

Завершим эту главу еще более поразительным примером.

Если вам трудно визуализировать целые числа от 1 до 100 в натуральную величину прямо перед собой, можно поступить проще. Вместо того чтобы утруждать себя всеми числами от 1 до 100, возьмите всего одно, причем наугад. Когда вы вытягиваете наугад число между 1 и 100, чему в среднем оно равно?

Перейти на страницу:

Похожие книги

История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Эта книга, по словам самого автора, — «путешествие во времени от вавилонских "шестидесятников" до фракталов и размытой логики». Таких «от… и до…» в «Истории математики» много. От загадочных счетных палочек первобытных людей до первого «калькулятора» — абака. От древневавилонской системы счисления до первых практических карт. От древнегреческих астрономов до живописцев Средневековья. От иллюстрированных средневековых трактатов до «математического» сюрреализма двадцатого века…Но книга рассказывает не только об истории науки. Читатель узнает немало интересного о взлетах и падениях древних цивилизаций, о современной астрономии, об искусстве шифрования и уловках взломщиков кодов, о военной стратегии, навигации и, конечно же, о современном искусстве, непременно включающем в себя компьютерную графику и непостижимые фрактальные узоры.

Ричард Манкевич

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Математика / Научпоп / Образование и наука / Документальное
Происхождение эволюции. Идея естественного отбора до и после Дарвина
Происхождение эволюции. Идея естественного отбора до и после Дарвина

Теория эволюции путем естественного отбора вовсе не возникла из ничего и сразу в окончательном виде в голове у Чарльза Дарвина. Идея эволюции в разных своих версиях высказывалась начиная с Античности, и даже процесс естественного отбора, ключевой вклад Дарвина в объяснение происхождения видов, был смутно угадан несколькими предшественниками и современниками великого британца. Один же из этих современников, Альфред Рассел Уоллес, увидел его ничуть не менее ясно, чем сам Дарвин. С тех пор работа над пониманием механизмов эволюции тоже не останавливалась ни на минуту — об этом позаботились многие поколения генетиков и молекулярных биологов.Но яблоки не перестали падать с деревьев, когда Эйнштейн усовершенствовал теорию Ньютона, а живые существа не перестанут эволюционировать, когда кто-то усовершенствует теорию Дарвина (что — внимание, спойлер! — уже произошло). Таким образом, эта книга на самом деле посвящена не происхождению эволюции, но истории наших представлений об эволюции, однако подобное название книги не было бы настолько броским.Ничто из этого ни в коей мере не умаляет заслуги самого Дарвина в объяснении того, как эволюция воздействует на отдельные особи и целые виды. Впервые ознакомившись с этой теорией, сам «бульдог Дарвина» Томас Генри Гексли воскликнул: «Насколько же глупо было не додуматься до этого!» Но задним умом крепок каждый, а стать первым, кто четко сформулирует лежащую, казалось бы, на поверхности мысль, — очень непростая задача. Другое достижение Дарвина состоит в том, что он, в отличие от того же Уоллеса, сумел представить теорию эволюции в виде, доступном для понимания простым смертным. Он, несомненно, заслуживает своей славы первооткрывателя эволюции путем естественного отбора, но мы надеемся, что, прочитав эту книгу, вы согласитесь, что его вклад лишь звено длинной цепи, уходящей одним концом в седую древность и продолжающей коваться и в наше время.Само научное понимание эволюции продолжает эволюционировать по мере того, как мы вступаем в третье десятилетие XXI в. Дарвин и Уоллес были правы относительно роли естественного отбора, но гибкость, связанная с эпигенетическим регулированием экспрессии генов, дает сложным организмам своего рода пространство для маневра на случай катастрофы.

Джон Гриббин , Мэри Гриббин

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Научно-популярная литература / Образование и наука
Древний Египет
Древний Египет

Прикосновение к тайне, попытка разгадать неизведанное, увидеть и понять то, что не дано другим… Это всегда интересно, это захватывает дух и заставляет учащенно биться сердце. Особенно если тайна касается древнейшей цивилизации, коей и является Древний Египет. Откуда египтяне черпали свои поразительные знания и умения, некоторые из которых даже сейчас остаются недоступными? Как и зачем они строили свои знаменитые пирамиды? Что таит в себе таинственная полуулыбка Большого сфинкса и неужели наш мир обречен на гибель, если его загадка будет разгадана? Действительно ли всех, кто посягнул на тайну пирамиды Тутанхамона, будет преследовать неумолимое «проклятие фараонов»? Об этих и других знаменитых тайнах и загадках древнеегипетской цивилизации, о версиях, предположениях и реальных фактах, читатель узнает из этой книги.

Борис Александрович Тураев , Борис Георгиевич Деревенский , Елена Качур , Мария Павловна Згурская , Энтони Холмс

Культурология / Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / История / Детская познавательная и развивающая литература / Словари, справочники / Образование и наука / Словари и Энциклопедии