Довольно сложно точно нарисовать то, что я вижу в голове. Мой мысленный образ не идеально четкий, да и башня выходит слишком большой, чтобы поместиться на странице. В итоге я могу нарисовать только приблизительное подобие. Спереди это выглядело бы как-то так:
Этот рисунок неверен, но это и неважно. Важно знать, в чем именно он неверен. В данном случае не хватает кубиков. Вместо 18 кубиков в ширину и 18 в высоту, как на моем рисунке, в башне должно быть 100 кубиков в ширину и 100 в высоту. Об этом придется помнить. Несмотря на этот недостаток, такой рисунок кажется мне правильным способом поделиться мысленным образом (если бы я нарисовал все кубики, вы бы там ничего не разобрали).
Готово! Правда же, все просто?
Математики склонны считать, что доказательство завершено, как только почувствуют, что у них в голове возник правильный образ. Так же и шахматисты останавливают партию, не доводя до мата, потому что видят выигрышную позицию.
Но давайте все же не будем торопиться и доведем партию до конца. Если у вас в голове возникла такая картинка, сложно не увидеть на ней треугольник. Число, которое мы ищем, то есть общее число кубиков – это площадь треугольника. А для вычисления этой площади существует очень простая формула, уровня начальной школы. Вот два способа завершить партию в зависимости от того, знаете вы формулу или нет.
Почти готово. Мы в точности воспроизвели ошибку, которую сделал Тёрстон в пять лет. Хороший признак, мы мыслим верно.
Ошибка в том, что мы забыли половинки кубиков, которые находятся выше диагонали и не были учтены в площади треугольника. Мы забыли 100 половинок, значит, надо добавить 50: и вот мы получили 5050.
У вас получился прямоугольник шириной 100 и высотой 101, а значит, образованный из 100 × 101 = 10 100 кубиков. Значит, в каждом треугольнике 5050 кубиков. Пресловутая «хитрость» с удвоением суммы и ее странной записью оказалась просто способом разложить площадь прямоугольника на два треугольника:
1+ 2 + 3 + 4 +… + 97 + 98 + 99 + 100
+ 100 + 99 + 98 + 97 +… + 4 + 3 + 2 + 1.
Вероятностное кун-фу
Мячик и бита, сумма целых чисел от 1 до 100: я люблю эти детские задачи, потому что их можно рассказать простыми словами, и они позволяют бросить взгляд на пропасть, разделяющую официальную математику, находящуюся в плену языка, и математику тайную, происходящую в голове.
В обоих случаях простого усилия по визуализации достаточно, чтобы сделать очевидным вычисление, которое 99 % людей совершенно не считают очевидным.
Это не всегда так просто. Визуализации не всегда достаточно, и перед нами не стоит задача избавиться от механического дедуктивного рассуждения. Чтобы понимать математику, нужно тренироваться чередовать воображение и язык, интуицию и логику, взгляд вблизи и отстранение, фантазии и расчет.
Кроме того, я не хотел бы создать у вас впечатление, что все математические задачи являются числовыми, а любая интуиция имеет геометрическую природу.
Математические объекты бывают самой различной природы, и их интуитивное понимание мобилизует разные области воображения. В таблице ниже перечислены некоторые основные области математики. Это неполный и упрощенный список, но он позволяет составить первое представление:
У каждой из этих областей свой лексикон и свои формы интуиции. Все равно что они соответствовали бы разным способам использовать наше тело, разным зонам мозга, разным способам фокусировать внимание. Они могут создать впечатление, что при их изучении говорят о разном, но на самом деле эти области лишь дают разные точки зрения на одну и ту же реальность – математическую.
Когда приобщаешься к этому опыту, единство математики порой застает врасплох. И все же зачастую математические открытия – это мосты, переброшенные между двумя разными интуитивными озарениями.
На самом элементарном уровне мы только что сделали именно это: геометрическая формула (площади треугольника или прямоугольника) позволила нам решить задачу по арифметике (сумма целых чисел от 1 до 100).
Завершим эту главу еще более поразительным примером.
Если вам трудно визуализировать целые числа от 1 до 100 в натуральную величину прямо перед собой, можно поступить проще. Вместо того чтобы утруждать себя всеми числами от 1 до 100, возьмите всего одно, причем наугад. Когда вы вытягиваете наугад число между 1 и 100, чему
Борис Александрович Тураев , Борис Георгиевич Деревенский , Елена Качур , Мария Павловна Згурская , Энтони Холмс
Культурология / Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / История / Детская познавательная и развивающая литература / Словари, справочники / Образование и наука / Словари и Энциклопедии