Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики

Мы никогда не понимаем полностью, что мы разумеем, и все же ухитряемся писать об этом книги.

Два языка, два правила игры

По сути, если вы хотите реально понять, что такое математика и почему она повсеместно присутствует в науке, надо исходить из хрупкости нашего языка.

Математика существует так же давно, как наше желание рассуждать и фиксировать с этой целью смысл слов. Это всеобщее заблуждение – сводить ее лишь к изучению чисел и форм. За пределами своего технического лексикона, теорем и уравнений математика – прежде всего иной способ использовать язык и присваивать словам смысл.

Человеческий и математический языки тысячелетиями развивались параллельно. Они так переплелись, что сейчас мы уже не всегда можем их различить.

В повседневной жизни, в самых обычных разговорах мы переключаемся между двумя способами использовать слова и обычно даже сами этого не замечаем.

Это относится к каждому из нас, включая тех, кто убежден, что неспособен к математике. Вне зависимости от нашего уровня культуры и образования мы все в определенной степени знакомы с математическим подходом, вплоть до того, что ежедневно обращаемся к способам мысли, которые он допускает.

Впрочем, поскольку нам никто никогда не объяснял, как это все работает, мы регулярно попадаем пальцем в небо. Мы переходим от одного языка к другому, забывая, что они подчиняются двум совершенно разным логикам. А в некоторых случаях это может привести к серьезным последствиям.

У каждого из этих языков своя задача, свои правила игры, свои сильные и слабые стороны. Они оба нам необходимы.

Два языка, два правила игры

Принимать определения всерьез

Оба языка часто используют одни и те же слова. Меняется лишь смысл, который мы придаем этим словам.

Прекрасный пример – слово «шар». Если я говорю вам: «Земля имеет форму шара», вы прекрасно понимаете, что означает это утверждение.

Если вы, как и я, полагаете, что это утверждение верно – это потому, что вы интерпретируете слово «шар» на человеческом языке, языке восприятия и неопределенности.

На математическом языке это утверждение становится откровенно ложным. На шаре не может быть гор.

В математике слова определяются «аксиоматически», то есть через формальные определения, которые их характеризуют полностью. Это воображаемые конструкции, идеальные и неподвижные: так, шар – это «совокупность точек пространства размерности 3 на равном расстоянии от некоего центра». У вас нет права ничего менять. Если вы уберете или немного сместите хоть одну точку, это уже не шар.

Самое коварное – у слова «шар» ровно то же значение в словарях человеческого языка. Меняются только наши взаимоотношения с этим определением.

На самом деле в человеческом языке никто никогда не принимает определения всерьез.

В реальной жизни вы называете шаром то, что воспринимаете как шар. Апельсин – шар, яблоко – более-менее шар, груша не шар. Держу пари, что вы не сможете описать точные масштабы допустимого искажения, подразумеваемого в вашем интуитивном восприятии шара.

Научный подход

Это работает и наоборот. Вы можете взять слово из человеческого языка и сделать вид, что обращаетесь с ним как со словом из математического языка. Мы поступаем так постоянно, когда рассуждаем.

Это довольно тонкий маневр, но мы умеем выполнять его инстинктивно и неосознанно. Суть в том, чтобы оттолкнуться от человеческого языка, перейти к математическому для рассуждения и вновь вернуться в человеческий язык. Это происходит каждый раз, когда мы выдвигаем гипотезы и пробуем сделать из них выводы.

В повседневной деятельности на более конкретном и личном уровне выражается то, что пышно называют научным подходом

. Вот его краткое содержание на очень упрощенном, но точно показывающем все этапы процесса примере.

Если вы заявляете, что, по определению, слон – это «представитель одного из трех видов: Loxodonta africana, Loxodonta cyclotis и Elephas maximus», и притворяетесь, что верите, будто это определение абсолютно истинно, вы можете сделать из этого некоторые логические выводы.

По сути, для этого и нужны словарные определения: это математические модели, позволяющие зафиксировать смысл слов – временно, на период рассуждения.

Если перед вами стоит слон и это не Loxodonta africana и не Elephas maximus, вы можете сделать вывод, что это Loxodonta cyclotis.

Внутри вашей модели этот вывод надежен на 100 %. Для сомнений нет места. Как говорится, «математически точно»!

Но верен ли этот вывод в реальной жизни? Все зависит от надежности модели. Возможно, вам не повезло, и сейчас перед вами стоит представитель какого-то четвертого вида слонов, настолько редкого, что он еще не описан.

В человеческом языке ничто не бывает надежным на 100 %. У нас регулярно случаются сюрпризы. Вот почему научная теория всегда выдвигает только предположения, которые на опыте могут быть подтверждены (тогда теория становится более правдоподобной) или опровергнуты (тогда нужно доработать модель).