Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

9.16. Способ 1. Из первого уравнения находим

y - z = ху - x.

Подставляя во второе, получим

xz = 2(x - ху + x), т. е. xz = 2x(2 - y).

Если x = 0, то система принимает вид

Получаем два решения системы:

x₁ = 0, y₁ = 0, z₁ = 0;

x₂ = 0, y₂ = 6, z₂ = 6.

Если x /= 0, то z = 2(2 - y). Подставляем во второе и третье уравнения

Подставим x из первого уравнения во второе:

7у - 2у^2 = -3ху + 9у.

Если y = 0, то получаем еще одно решение:

x₃ = 4, y₃ = 0, z₃ = 4.

Если y /= 0, то 3x - 2y = 2, откуда x = ^2(y + 1)/₃. Подставляем в первое уравнение последней системы уравнение, которое превращается в квадратное относительно y:

2у^2 - 9у + 10 = 0,

откуда y₄ = 2, y₅ = 3 . Делаем проверку.

Способ 2. Запишем систему в виде

и сделаем три парных сложения

Отсюда находим решения:

а) x = y = z = 0;

б)

в) если x = 0, то  y = z = 6;

г) если y = 0, то

д) если z = 0, то

Ответ.

(0, 0, 0); (0, 6, 6); (4, 0, 4); (2, 2, 0); ( ⁷/₃, ⁵/₂, -1).

9.17. Возведем уравнение x + y = -z в квадрат:

x^2 + y^2 + 2ху = z^2,

и сравним со вторым уравнением системы; найдем ху = -10.

Преобразуем сумму x⁴ + y⁴ из третьего уравнения следующим образом:

x⁴ + y⁴ = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (20 + z^2)^2 - 200,

где на последнем шаге были использованы второе уравнение системы и найденное значение для ху. Подставив это выражение в третье уравнение системы, получим

z^2 = 9, т. е. z = ±3.

Остается решить каждую из систем:

Производим проверку.

Ответ. (-2, 5, -3); (5, -2, -3); (2, -5, 3); (-5, 2, 3).

9.18. Третье уравнение можно записать так:

(x + y)(x^2 - ху + y^2) + (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0.

Из первого уравнения мы знаем, что x + y = 1 - z. Поэтому

(1 - z)(x^2 - ху + y^2 - z^2 - z - 1) = 0.

Если z = 1, то x + y = 0. Тогда из второго уравнения получим ху = -4. B итоге — два решения:

x₁ = 2, y₁ = -2, z₁ = 1;

x₂ = -2, y₂ = 2, z₂ = 1.

Если же 1 - z /= 0, то

x^2 - ху + y^2 - z^2 - z

- 1 = 0. (3)

Чтобы упростить уравнение (3), снова воспользуемся тем, что x + y = 1 - z, а потому

x^2 + 2ху + y^2 = 1 - 2z + z^2. (4)

Вычитая уравнение (4) из уравнения (3), получим

ху = -z.

Теперь второе уравнение исходной системы

ху + z(x + y) = -4

можно переписать как уравнение относительно z

-z + z(1 - z) = -4.

Решая его, найдем, что либо z = -2, либо z = 2. B первом случае мы приходим к системе

Во втором случае получаем

После того как были найдены первые два решения, решение системы можно было закончить следующим рассуждением.

Данная система симметрична относительно x, y и z. Поэтому одно ее решение (2, -2, 1) порождает 3! = 6 решений, получающихся в результате всевозможных перестановок. Таким образом, мы получим шесть различных решений системы.

С другой стороны, можно доказать, что система может иметь не больше решений, чем произведение степеней ее уравнений: 1 · 2 · 3 = 6. Поскольку все шесть решений найдены, решение системы можно считать законченным, если проверить одно из найденных решений.

Ответ. (2, -2, 1); (-2, 2, 1); (1, 2, -2); (2, 1, -2), (-2, 1, 2); (1, -2, 2).

9.19. Рассмотрим многочлен M(t) = (t - x)(t - y)(t - z) + d. Его корнями по условию являются не совпадающие друг с другом числа а, b и с, следовательно,

M(t) = (t - а)(t - b)(t - с), или (t - а)(t - b)(t - с)  (t - x)(t - y)(t - z) + d.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, найдем

x + y + z = а + b + с

= u,

ху + хz + уz = ab + ас + bc = v,

xyz = аbс + d = w

(справа указаны вводимые нами обозначения).

Поскольку нужно найти сумму x^3 + y^3 + z^3, выразим ее через u, v и w, осуществив непосредственное возведение в куб суммы x + y + z = u:

u^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3uv - 3w    (5)

(необходимые выкладки проведите самостоятельно). Запишем теперь то же соотношение для а + b + с = u и тем самым выразим а^3 + b^3 + с^3 через u, v и w:

u^3 = а^3 + b^3 + с^3 + 3uv - 3(w - d).   (6)

Вычитая из (6) соотношение (5), получим

x^3 + y^3 + z^3 = а^3 + b^3 + с^3 + 3d.

Ответ.а^3 + b^3 + с^3 + 3d.

9.20. Умножив первое уравнение на ху^2z^2, а второе — на x^2уz^2, получим y первых двух уравнений равные правые части:

При этом могут быть получены посторонние решения, y которых одно из неизвестных обращается в нуль. Эти решения можно сразу отбросить, так как система в этом случае не удовлетворяется.

Сравним левые части полученных уравнений:

4z(x - y

) = 0.

Так как z /= 0, то x = y. Из третьего уравнения системы получаем тогда z = ¹/_x^3. Подставим эти значения y и x в первое уравнение:

4х⁴ + 1 = 0.   (7)

Уравнение (7) не имеет действительных решений.

Ответ. Действительных решений нет.

9.21. Возведя второе уравнение в квадрат, найдем

(x + y)^2 = ^x^2y^2/₄.

Подставим в первое уравнение

x⁴ + y⁴ = ¹⁷/₄x^2y^2, т. е. (x^2 - y^2)^2 = ⁹/₄x^2y^2,

откуда

x^2 - y^2 = ±³/₂ху,

или, воспользовавшись вторым уравнением исходной системы, получим

x^2 - y^2 = ±3(x + y),

откуда

(x + y)(x - y ± 3) = 0.

Если x + y = 0, то и ху = 0, следовательно,

x₁ = 0, y₁ = 0.

Если x - y = 3, то, подставляя во второе уравнение данной системы y = x - 3, придем к уравнению x^2 - 7x + 6 = 0, с помощью которого найдем два решения системы:

x₂ = 1, y₂ = -2;

x₃ = 6, y₃ = 3.