Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Если же x - y = -3, то аналогично получим

x₄ = -2, y₄ = 1;

x₅ = 3, y₅ = 6.

Производим проверку.

Ответ. (0, 0); (1, -2); (6, 3); (-2, 1); (3, 6).

9.22. Умножим первое уравнение на t:

хt + уt = t

и вычтем из второго. Аналогично поступим со вторым и третьим уравнениями. Придем к системе, не содержащей y:

B результате могут быть получены посторонние решения, в которых t = 0. Однако решение нашей системы мы закончим проверкой, благодаря которой все посторонние решения будут отсеяны.

Если x = 0, то одновременно 2 - t = 0 и 5 - 2t = 0, что невозможно. По аналогичной причине z - t /= 0, z /= 0.

Поделим теперь второе уравнение последней системы на первое, а третье на второе. Получим

z = ^{5 - 2t}/_{2 - t},  z = ^{14 - 5t}/_{5 - 2t}.

Приравнивая эти выражения для z, придем к квадратному уравнению относительно t:

t^2 - 4t + 3 = 0, т. е. t₁ = 1, t₂ = 3.

Итак, z₁ = 3, z₂ = 1.

Остается определить x и y и сделать проверку.

Система имеет два решения.

Ответ. ( 1/2 , 1/2 , 3, 1) ( 1/2 , 1/2 , 1, 3).

9.23. Возведем первое уравнение в квадрат и вычтем из второго уравнения. После упрощения получим

2ху - 3хz + 6уz = 54.

Третье уравнение позволяет заменить 3xz на 4у^2:

2ху - 4у^2 + 6уz = 54, или ху - 2у^2 + 3уz = 27.  (8)

Вычтем из уравнения (8) первое уравнение системы, умноженное на y[17], получим

y = 3.

Подставим в первое и третье уравнения системы

Решая эту систему, найдем два решения:

x₁ = 3, z₁ = 4; x₂ = 12, z₂ = 1.

Производим проверку.

Ответ. (3, 3, 4); (12, 3, 1).

9.24. Сложив первое уравнение со вторым, первое с третьим и, наконец, второе с третьим, получим систему

Перемножим эти уравнения и обозначим xyz = u:

u^3 = (u + 2)(u^2 - 9),

а после упрощения

2u^2 - 9u - 18 = 0,

откуда u₁ = 6, u₂ = -³/₂.

Для первого значения u находим x^3 = 8, y^3 = 3, z^3 = 9, аналогично поступаем с u₂. Производим проверку.

Ответ.

9.25. Обозначим x₁ + x₂ + ... + x_n = s. Тогда уравнение, стоящее на месте с номером k, примет вид

x_k(s - x_k) + k(k + 1)s^2 = (2k + 1)^2а^2,

или

x_k^2 - sx_k - k(k + 1)s^2 + (2k + 1)^2a^2 = 0,

откуда

Возьмем для всех x_k знак минус и составим сумму х₁ + ... + x

_n. Получим уравнение относительно в

откуда

Мы взяли перед корнем знак плюс, так как из уравнения для в видно, что s 0; знаменатель не обращается в нуль ни при каких натуральных h.

Остается подставить найденное значение в в выражение для x_k и сделать проверку.

Ответ.

9.26. Пусть 7x - 11у = u, т. е. 7(x + y) - 18у = u, откуда x + y = ^и + 18y/₇, а x + 9у = (x + y) + 8у = ^и + 74y/₇.

Приходим к системе

Из последней системы исключим y:

Если u = 0, то, как легко видеть, придем к очевидному решению: x₁ = y₁ = 0.

Если u /= 0, то получаем уравнение

откуда u₁ = 1/3 , u₂ =  - 1/3 , u₃ = 2, u₄ = -2.

Для каждого значения u составляем систему 

Делаем проверку.

Ответ. (0, 0); (¹⁰/₂₄₃, -¹/₂₄₃); (-¹⁰/₂₄₃, ¹/₂₄₃); (5, 3); (-5, -3).

9.27. Если сложить уравнения системы и вычесть из первого второе, получим систему:

Возведем каждое из уравнений системы (9) в квадрат и вычтем из первого полученного уравнения второе. Получим

т. е.

(а - x)(b - x) = x^2, или (

а + b)x = ab.

Если а + b = 0, но ab /= 0, то последнее уравнение, а следовательно, и данная система не имеют решений.

Если а + b = 0 и ab = 0, то а = b = 0. Написанная в начале решения система принимает вид

откуда y = -x и y = x одновременно, т. е. при а = b = 0 система имеет единственное решение x = y = 0.

Если а + b /= 0, то x = ^ab/_a + b.

Из уравнения  находим y:

т. е.  откуда y = ^(|a| + |b|)^2/_4(a + b).

Так как а + b стоит в предпоследнем уравнении под радикалом и а + b /= 0, то а + b 0.

Преобразовывая систему, мы получили уравнение Следовательно, x >= 0, т. е. ab >= 0, а значит, и а >= 0, b >= 0.

Теперь можно записать, что

y = ^a + b/₄.

Делаем проверку. Первое уравнение системы после подстановки примет вид

2а - |а - b| = а + b.

Если а >= b, то это уравнение удовлетворяется, а если а b, то получим а = b, что противоречит предположению а b.

Второе уравнение системы после подстановки дает равенство 2b + |а - b| = а

+ b.

При а >= b получаем тождество.

Ответ. Если а >= b >= 0 и а + b  0, то x = ^ab/_a + b, y = ^а + ^b/₄; если а = b = 0, то x = y = 0.

9.28. Обозначим у = z. Тогда система перепишется в виде

Дважды возведем первое уравнение в квадрат:  отсюда  далее

4z^2 = 4х - 1, или z^2 = x - 1/4 .

Заменив  выражением x -  1/2 , перепишем второе уравнение системы так:

Из последнего уравнения находим z^2:

z^2 = ⁹/₄ - 3x,

и сравниваем с выражением для z^2, полученным из первого уравнения:

x -  1/4 = ⁹/₄ - 3x.

Отсюда x = ⁵/₈, а y = z^2 = ³/₈.

Проверяем найденные значения x и y. Левая часть первого уравнения системы примет вид

Левая часть второго уравнения вычисляется проще:

Ответ. (⁵/₈, ³/₈).

9.29. Способ 1. Так как а и b положительны, то из данных уравнений следует, что x 0 и y 0.

Возведем каждое из уравнений в квадрат:

B результате могут быть приобретены только такие посторонние решения, при которых либо x 0, либо y 0.

Выражения 1 - y^2 и 1 - x^2, как это видно из последней системы, останутся положительными.