Читаем Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы полностью

Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Альберт Анатольевич Рывкин , Евгений Борисович Ваховский

Любое число а ^ 0 можно записать в виде а = |а| sign а, где

— функция, соответствующая знаку числа а. Поэтому из (6) получаем

Определим теперь знак выражения

0,5 - lg 5 = lg 10 - lg 5 = lg ¹⁰/₅ lg ⁴/₅ lg 1 = 0.

Следовательно, sign (0,5 - lg 5) = -1, т. е. решением неравенства (6) будут значения x = -1.

Ответ. -4, -1.

10.52. Так как (5 + 2)(5 - 2) = 1, то данное неравенство можно преобразовать к виду

(7)

Знаменатель всегда положителен, если x >= 0. Требование x >= 0 сохраняется, если существует числитель. Поэтому (7) равносильно неравенству

(5 - 2) ^{x + x - 6} = 1. (8)

Поскольку 0 5 - 2 1, то (8) равносильно неравенству

x + x - 6 >= 0. (9)

Трехчлен y^2 + y - 6 (где y = x) имеет корни -3 и 2. Поэтому решением неравенства

y^2 + y - 6 >= 0

будет совокупность значений y = -3, y >= 2. У неравенства x = -3 решений нет. Остается x >= 2, т. е. x >= 4.

Ответ. [4, +).

10.53. Обозначим log₂x = y и запишем неравенство в виде

1 + y^2 = |y| (4x - x^2 - 2),

или

1 + y^2 = |y| [-(x^2 - 4x + 4) + 2],

т. е.

1 - 2|y| + |y^2| = |y|(-x^2 + 4x - 4).

Итак,

(1 - |y|)^2 = -|

y|(x - 2)^2.

Неравенство удовлетворяется только в том случае, если обе его части равны нулю. Это может быть только при |y| = 1, тогда (x - 2)^2 = 0, т. е. x = 2.

Ответ. 2.

Глава 11
Логарифмические и показательные уравнения и системы

11.1.

11.2. Так как 1225 = 35^2, то

lg 122,5 = lg 35^2 - lg 10 = 2(lg 5 + lg 7) - 1 = 2(а + b) - 1.

11.3. Перепишем уравнение в виде

т. е. после того как вынесем 3^{2x - 1} и 2^x + 1/2 за скобки,

Из последнего уравнения следует, что

3^{2x - 3} = (2)^2x - 3,

т. е. (³/₂)^2x - 3 = 1, откуда 2x - 3 = 0.

Ответ.x = ³/₂.

11.4. Обозначив 3^-|x - 2| = y, придем к квадратному уравнению

y^2 - 4y - а = 0,

корни которого

Первый корень приходится отбросить, так как -|x - 2| = 0 и 3^-|x - 2| = 1, а не может стать меньше двух.

Исследуем второй корень:

Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение трех условий, которые сведены в систему неравенств:

Решая эту систему, найдем -3 = а 0.

Ответ. При -3 = а 0 два решения:

при остальных а решений нет.

11.5. Решая квадратное уравнение относительно 12^|x|, найдем

Первое ограничение: 1 - а >= 0, т. е. а = 1. Кроме того, 12^|x| не может стать меньше единицы. Если перед корнем выбран знак плюс, то последнее требование выполняется, если же взят знак минус, то лишь при а = 1. Это значение а можно учесть при рассмотрении уравнения

Ответ. при а = 1; при остальных а решений нет.

11.6. Уравнение можно записать так:

или

Прологарифмируем по основанию 10

откуда x₁ = 2, x₂ = -¹/_{lg 5}.

Ответ. 2, -¹/_{lg 5}.

11.7. Так как (2 + 3)(2 - 3) = 1, то 2 + 3 и 2 - 3 — взаимно обратные числа. Обозначим

(2 + 3)^{x^2 - 2x} = y.

Тогда данное уравнение можно записать так:

y + ¹/_y = ¹⁰¹/₁₀

(мы разделили обе части уравнения на 2 + 3).

Решая это уравнение, найдем

y₁ = ¹/₁₀, y₂ = 10.

Покажем, что первый корень, который приводит к уравнению

(2 + 3)^{x^2 - 2x} = ¹/₁₀,

посторонний.

Так как 2 + 3 1, то x^2 - 2x 0. Выражение x^2 - 2x достигает своего минимума в точке x = 1. Этот минимум равен -1. Поскольку 2+ 3 4, то в левой части последнего уравнения стоит число, большее 1/4 , а следовательно, ни при каких x не равное ¹/₁₀.

Остается решить уравнение

(2 + 3)^{x^2 - 2x} = 10.

Прологарифмируем его по основанию 2 + 3:

x^2 - 2x - log_{2 + 3} 10 = 0.

Ответ.

11.8. Перепишем уравнение так:

Сразу же видно, что x = 2 — корень уравнения. Покажем, что других корней нет.

Обозначим для удобства первое основание через а, а второе через b. Оба этих основания меньше единицы. Поэтому

а 1;

если x 2, то а^x а^2, b^x b^2, и следовательно,

а^x + b^x 1;

если же x 2, то а^x а^2, b^x b^2, и следовательно, а^x + b^x 1.

Ответ.x = 2.

11.9. Если x - 2 /= 0, 1, -1, то log₂ (x + 31) = 3, x = -23. При x = 2 = 0, т. е. x = 2, имеем , и так как log₂31 0, то уравнение удовлетворяется.