Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

После подстановки в первое уравнение системы получим

2^{-3y - 3} = ¹/_{-4 - 5y}, или 2^3(y + 1) = -(4 + 5y).

Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение неравенства

-(4 + 5у) 0, т. е. y -⁴/₅.

Рассмотрим следующие три случая.

1. 3(y + 1) 0, т. е. y -1. В этом случае правая часть уравнения должна быть меньше единицы, т. е. -(4 + 5у) 1, откуда y -1. Поскольку ограничения y -1 и y -1 несовместны, при сделанном предположении нет решений.

2. 3(y + 1) 0, т. е. y -1. Тогда правая часть уравнения должна превзойти единицу, а потому y -1. И на этот раз ограничения несовместны.

3. Остается посмотреть, что будет при 3(y + 1) = 0, т. е. y = -1. Легко проверить, что уравнение удовлетворяется. Найденному значению y соответствует x = 1. Проверкой убеждаемся, что мы нашли решение исходной системы.

Ответ. (1, -1).

11.25. Первое уравнение системы можно переписать в виде

log₈ (y - x)^3 = log₈ (3y - 5х).

Следствием данной системы является система

Перемножив входящие в нее уравнения, получим однородное уравнение относительно x и y:

5(y - x)^3 = (3y - 5х)(х^2 + y^2).

Если x /= 0, то разделим последнее уравнение почленно на x^3 и обозначим ^y/_x = u. Получим уравнение относительно u:

u^3 - 5

u^2 + 6u = 0,

которое имеет корни: u₁ = 0, u₂ = 2, u₃ = 3.

Если u = 0, то y = 0, а из второго уравнения исходной системы x = ±5.

При подстановке в первое уравнение исходной системы x = -5 и y = 0 это уравнение удовлетворяется, а при x = 5 и y = 0 уравнение не удовлетворяется. Если u = 3, то y = 3x, а потому x^2 = 1/2 , откуда

x =±¹/₂, y = ±³/₂

(x и y в силу равенства y = 3x имеют одинаковые знаки). Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что решением системы будут

x = ¹/₂, y = ³/₂.

Если u = 2, то y = 2x. Из двух систем значений (-1, -2), (1, 2) первому уравнению удовлетворяет только вторая.

Осталось рассмотреть случай x = 0. Он не дает новых решений, так как система превращается в два несовместных уравнения.

Ответ. (-5, 0); (¹/₂, ³/₂); (1, 2).

11.26. Способ 1. Из второго уравнения

Подставляем в первое:

Так как

то получим уравнение

Прологарифмируем по основанию 3:

3log₃

^2 x - 8log₃ x + 4 = 0,

откуда x₁ = 3 ^2/3 , x₂ = 9.

Находим соответствующие y и делаем проверку.

Способ 2. Применим равенство  (оно доказывается с помощью логарифмирования) к первому уравнению. Получим

т. е.  или

Прологарифмировав по основанию 3, решим полученное уравнение совместно со вторым уравнением системы:

Ответ.

11.27. Так как x и y одного знака (это следует из второго уравнения) и x + y 0 (из первого), то x и y положительны, причем либо x, либо y обязательно больше 1 (так как xy = 3). Следовательно, x + y 1 и данная система может быть переписана так:

Если 0 x - y 1, то получим систему

следствием которой является система

Из первого уравнения получим 7 x = 9y. Подставляя сюда y = ³/_x, найдем x^2 = ²⁷/₇, откуда

Убеждаемся, что при этих значениях x и y неравенство 0 x - y 1 выполняется.

Если x - y 1, то получим систему

следствием которой является система

Подставляя в первое уравнение y = ³/_x, получим уравнение

x

⁴ - 8x^2 - 9 = 0.

Так как x^2 /= -1, то остается x^2 = 9, откуда x = 3, а y = 1. (Ограничение x - y 1 удовлетворяется.)

Равносильность могла быть нарушена только при потенцировании; поэтому достаточно проверить, что x - y 0, что уже сделано.

Ответ.

11.28. Прологарифмируем и обозначим log₂ x = u, log₂ (y + 1) = u:

откуда

Находим соответствующие x и y; проверка не обязательна, так как равносильность не была нарушена.

Ответ. (2, 15); (2, 3).

11.29. Так как log_a^2 x =  1/2 log_a x (обратите внимание на то, почему мы не пишем здесь log_|a| x), а log_b y = log_b y, то систему можно переписать следующим образом:

Это — следствие первоначальной системы; если же добавить условия y 0, b 0, b /= 1, то получим равносильную систему.

Из первого уравнения

Подставляем во второе и находим

Условие , т. е. 8а^3 а⁴, приводит к дополнительному ограничению на а: а 8.

Ответ. При 0 а 1, 1 а 8 и при b 0, b /= 1   

11.30. Пусть 3^x

+ 1 = u, 3^y + z - x = v, тогда первые два уравнения примут вид

откуда u = 9, v = 9. Следовательно, x = 1, а y + z - x = 2, т. е. y + z = 3. Последнее уравнение данной системы примет теперь простой вид

lg уz = lg 2,

следствием которого будет

уz = 2.

Решаем систему

Проверкой убеждаемся, что мы нашли решения исходной системы уравнений.

Ответ. (1, 1, 2); (1, 2, 1).

Глава 12

Тригонометрические преобразования

12.1. В первых квадратных скобках после упрощений получим ²/_{sin x}, вторые квадратные скобки заключают в себе выражение Таким образом, первое слагаемое принимает вид

Второе слагаемое легко приводится к виду

Ответ.

12.2. Так как сумма углов 30° - и 60° - равна 90° - 2, то

tg [(30° - ) + (60° - )] = ctg 2,

или

откуда следует наше тождество.

12.3. Рассмотрим выражение

Так как ctg x = 1/2 (ctg ^x/₂ - tg ^x/₂),  то

ctg x + 1/2 tg ^x/₂ = 1/2 ctg ^x/₂.

Аналогичные преобразования можно продолжить и дальше:

что и доказывает тождество.

12.4. Перепишем равенство

sin cos ( + ) = sin

в виде

sin cos ( + ) = sin [( + ) - ],

т. е.