Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Так как у^3 - 2y + 1 = (y - 1)(y^2 + y - 1), то

y₁ = 1, y_2,3 = ^{-1 ± 5}/₂.

Находим соответствующие x и проверяем их.

Ответ.x₁ = 3, x_2,3 = 3.

11.13. Если

y = log_х 3,

то придем к уравнению

из которого получается цепочка следствий

Проверкой убеждаемся, что второе значение y не удовлетворяет исходному уравнению, так как y должен быть отрицательным.

Ответ.x = ¹/₉.

11.14. Приведя уравнение к общему знаменателю и отбросив его, получим следствие данного уравнения:

log₄ x + log₄(10 - x) = 2,

откуда

x^2 - 10x + 16 = 0, x₁ = 2, x₂ = 8.

Проверкой убеждаемся, что это — корни исходного уравнения.

Ответ.x₁ = 2, x₂ = 8.

11.15. Перепишем данное уравнение так:

При этом преобразовании мы могли потерять корень, так как при x = 1 левая часть полученного уравнения теряет смысл, в то время как обе части исходного уравнения существуют. Проверкой убеждаемся, что x = 1 — корень данного уравнения[21].

Преобразуем выражения, стоящие в знаменателях и обозначим log_x

 2 = y:

¹/_{1 - y} - ²¹/_4y + 1 + ¹⁰/_2y + 1 = 0.

Это уравнение равносильно системе

При y = -2 и y = 1/2 , являющихся корнями уравнения, условие, входящее в систему, удовлетворяется.

Ответ.x₁ = 1, x₂ = ¹/₂, x₃ = 4.

11.16. Перепишем уравнение в виде

Так как

то придем к уравнению

log₂ 6 - log₂ (4 - x) = log₂ (3 + x),

откуда

х^2 - x - 6 = 0, x₁ = -2, x₂ = 3.

Все применявшиеся преобразования приводили к следствию исходного уравнения. Первый корень при проверке отбрасываем, так как  при x = -2 не существует.

Ответ.x = 3.

11.17. Уравнение равносильно системе

или

Решим уравнение, после чего проверим, выполняются ли наши ограничения. Уравнение распадается на два. Если

x⁴ + 2x^3 + 2x - 1 = (х^2 + x - 1)^2,

то, раскрывая скобки, получим

х^2 + 4x - 2 = 0, x_1,2

= -2 ± 6.

Если же

x⁴ + 2x^3 + 2x - 1 = -(х^2 + x - 1)^2,

то

x^2(2x^2 + 4x - 1) = 0; x₃ = 0, x_4,5 = ^{-2 ± 6}/₂.

Остается проверить выполнение двух условий, входящих в последнюю систему. Лишь при x = 0 нарушается условие |х^2 + x - 1| /= 1. При остальных найденных значениях x оба условия выполняются.

Ответ.x_1,2 = -2 ± 6; x_3,4 = ^{-2 ± 6}/₂.

11.18. Преобразуем первое слагаемое:

При переходе к логарифмам с основанием а мы наложили на а дополнительное ограничение: а /= 1. Однако при а = 1 данное нам уравнение не имеет решений, и, следовательно, такое ограничение несущественно. При замене  на x могут быть введены посторонние корни x 0.

Мы получили уравнение относительно :

y^2 - 5у + 6 = 0; y₁ = 2, y₂ = 3,

откуда

Ответ. При

11.19. Логарифмируя и заменяя log_x а на, получим

т. е.

Отсюда видно, что если x удовлетворяет этому уравнению, то log_a

x 0, а потому log_a x + 1 0. Следовательно,

Чтобы разбирать меньшее количество различных случаев, оценим левую часть последнего уравнения и, следовательно, а. Так как

а второе слагаемое неотрицательно, то а 1 (значение а = 1 мы исключили, так как а — основание логарифма). Остается рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть символ абсолютной величины.

При log_a x >= 1, т. е. при x >= а 1, получим уравнение

Так как а 1, то x а.

При 0 log_a x 1, т. е. при x а, получим второе значение неизвестного:

которое будет меньше а, так как а 1.

Ответ. При

11.20. Если одно из неизвестных равно нулю, то в силу второго уравнения системы равно нулю и второе неизвестное. Это приводит к потере смысла в первом уравнении. Таким образом, x и y оба положительны.

Прологарифмируем оба уравнения:

Так как x 0 и y 0, то разделим первое уравнение на второе:

а потому

Подставим найденное значение x в первое из данных уравнений:

Если y = 1, то из первого уравнения системы получаем x = 1, что не удовлетворяет второму уравнению.

Так как значения y = 0 и y = -1 исключены, то остается

Вспомнив, что log₃ 15 = 1 + log₃ 5, получим

и найдем x.

Ответ.

11.21. Возведем второе уравнение в степень y

1024 = (^2x/₃)^2y

и воспользуемся тем, что x^y = 243. Так как 1024 = 2¹⁰, а 243 = 3⁵, то получим

2¹⁰ = ( 2/3 )^2y · 3¹⁰, откуда ( 2/3 )¹⁰ = ( 2/3 )^2y

и y = 5. Из первого уравнения находим x = 3.

Делаем проверку и убеждаемся, что мы нашли решение системы.

Ответ.

(3, 5).

11.22. Из самого вида системы следует, что x 0, y 0. Из второго уравнения имеем

а после подстановки в первое

Если y /= 1 (случаи y = 0 и y = -1 уже исключены), то, приравнивая показатели степеней, получим

Подставляя в первое уравнение, найдем  Следовательно,

откуда получаем x₁ = ¹⁶/₈₁, у₁ = ⁴/₉. Проверкой убеждаемся, что это — решение исходной системы.

Остается проверить, что произойдет при y = 1. Легко видеть, что тогда и x = 1.

Ответ. (¹⁶/₈₁, ⁴/₉), (1, 1).

11.23. Так как

то

Подставив в первое уравнение исходной системы и обозначив  получим

(21 - 2u)(16 - u) - 2u^3 = 71,

а после раскрытия скобок

u = 5, т. е. y = 2.

Остальные неизвестные находятся легко.

Ответ. (2, 2, 1).

11.24. Второе уравнение можно записать в виде

2^{x + 2у} (x · 2^x - y + 1 + 3y · 2^2x + y) = 1.

В силу первого уравнения системы выражение в скобках равно 2. Поэтому

2^{x + 2у + 1} = 1,

откуда

x + 2y + 1 = 0, т. е. x = -2y - 1.