Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

sin cos ( + ) = sin ( + ) cos - sin cos ( + ),

или

2 sin cos ( + ) = sin ( + ) cos .

Из условия следует, что cos ( + ) /= 0 и cos  /= 0. Разделим последнее равенство на cos ( + ) cos . Получим

2 tg  = tg ( + ).

12.5.

Применяя последовательно формулу синуса двойного угла, приведем числитель к виду

Ответ. -¹/₈.

12.6. Вычислим вначале произведение косинусов:

Теперь вычислим произведение квадратов синусов, умноженное на 8:

Раскроем скобки и преобразуем каждое произведение двух косинусов в сумму косинусов. После приведения подобных получим

Теперь можно найти произведение тангенсов.

Ответ. 7 .

12.7. Преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:

и воспользуемся условием. Получим

12.8. Доказательство представляет собой цепочку преобразований sin (x + y) sin (x - y) = sin^2 x cos^2 y - cos^2 x sin^2 y = k^2 sin^2 y cos^2 y - cos^2 x sin^2 y = sin^2 y (k^2 cos^2 y - cos^2 x).

Так как cos^2 x = 1 - k^2 sin^2 y, то выражение в скобках равно k^2 - 1. По условию -1 = k = 1, т. е. k^2 - 1 = 0, и, следовательно, sin (x + y) sin (x - y) = 0.

12.9. Вычислим а^2 + b^2:

а^2 + b^2 = 2 + 2 (cos  cos  + sin  sin ) = 2 + 2 cos ( - ) = 4 cos^2 ^- /₂. Теперь преобразуем правую часть равенства, которое нужно доказать:

что и требовалось доказать.

12.10. Обозначим sin^2  = а, sin^2  = b

, sin^2  = с. Тогда данное в условии соотношение примет вид

т. е.

2abс + аb(1 - с) + bс(1 - а) + ас(1 - b) - (1 - а)(а - b)(1 - с) = 0.

После того как будут раскрыты скобки и приведены подобные члены, получим

-1 + с + b + a = 0,

что в первоначальных обозначениях соответствует равенству sin^2  + sin^2 + sin^2  = 1.

12.11.

При преобразованиях мы пользовались формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Ответ. -3.

12.12. Так как

ctg  + ctg  = 2 ctg и  = /₂ - ( + ),

то

Углы  и  острые. Поэтому ctg  0 и ctg  0 и на их сумму можно сократить:

откуда легко найти произведение котангенсов.

Ответ. 3.

12.13. Преобразуем данное выражение:

sin (90° + 16°) + cos (90° + 16°) ctg 8° = cos 16° - sin 16° ctg 8° = cos 16° - 2 sin 8° cos 8° ^{cos 8°}/_{sin 8°} = cos 16° - 2 cos^2 8° = cos 16° - (1 + cos 16°) = -1.

Глава 13

Тригонометрические уравнения и системы

13.1. Так как 2 sin (x + /₄) = sin x + cos x, то

1 + sin 2x + 2 cos 3x sin x + 2 cos 3x cos x = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.

Объединим одночлены, содержащие cos 3x и все оставшиеся одночлены:

2 cos 3x (sin x + cos x - 1) + 2 sin x (sin x + cos x - 1) = 0.

Получим уравнение

(sin x

+ cos x - 1)(cos 3x + sin x) = 0.

Если sin x + cos x = 1, т. е. (x - /₄) = ¹/₂ , то

x = ⁿ/₂ - /₈ и x = n + /₄.

Ответ. 2n; 2n + /₂; ⁿ/₂ - /₈; n + /₄.

13.2. Данное уравнение можно преобразовать так:

или

Последнее уравнение равносильно системе

Решая уравнение этой системы, найдем

cos x = 1, откуда x = 2k,

cos x = sin x, tg x = 1, откуда x = /₄ + k.

Так как при x = 2k и x = /₄ + k условие sin^2 x /= 1 выполняется, то найденные значения x являются корнями данного уравнения.

Ответ.x = 2k; x = /₄

+ k.

13.3. Поскольку

 мы приходим к уравнению

Левая и правая части этого уравнения содержат общий множитель ^{1 - cos x}/_{1 - sin x}. Поэтому уравнение можно записать в виде

Первые корни получаем из уравнения cos x = 1, откуда x = 2k.

Остальные корни найдем, приведя к общему знаменателю дроби, стоящие в скобке, и выполнив вычитание. Получим уравнение

Числитель легко разложить на множители, если сгруппировать однородные члены:

(sin^2 x - cos^2 x) + sin x cos x (sin x - cos x) = (sin x - cos x)(sin x + sin x cos x + cos x).

Знаменатель можно отбросить, так как при cos x = 0 ни одна из скобок в разложении числителя не обращается в нуль. Заботиться о том, чтобы 1 + sin x + sin^2 x не обращалось в нуль, не нужно, так как это выражение всегда положительно.

Если sin x - cos x = 0, то tg x = 1, откуда x = /₄ + k.

Остается решить уравнение

sin x + sin x cos x + cos x = 0.

Мы знаем, что (sin x + cos x)^2 = 1 + 2 sin x cos x. Отсюда

Сделав такую замену в оставшемся уравнении, получим квадратное уравнение относительно y = sin x + cos x

y^2 + 2y - 1 = 0.

Корни этого уравнения

y_1,2 = -1 ± 2.

Записав sin x + cos x в виде 2 cos (x - /₄), мы убедимся, что корень y₁ = -1 - 2 является посторонним. Остается

cos (x

- /₄) = 1 - ¹/₂,

откуда

x = 2k ± arccos (1 - ¹/₂) + /₄.

Ответ. 2k; /₄ + k; 2k ± arccos (1 - ¹/₂) + /₄.

13.4. Данное уравнение эквивалентно системе

Преобразуя левую и правую части уравнения в сумму тригонометрических функций, мы получим уравнение

cos 9x = 0, откуда x = /₁₈(2n + 1).

Из найденных значений x нужно выбрать те, при которых

cos 2x cos 7x /= 0, т. е. cos 5x + cos 9x /= 0.

Так как речь идет о значениях неизвестного, при которых cos 9 x = 0, то остается потребовать, чтобы cos 5x /= 0, т. е. 5 · /₁₈(2n + 1) /= /₂(2k + 1), откуда ⁵⁽²ⁿ + 1)/₉ /= 2k + 1. Число ⁵⁽²ⁿ + 1)/₉  не может быть четным, так как в его числителе лишь нечетные множители.

Оно будет целым, когда = ^{2n + 1}/₉ = 2n + 1, т. е. при n = 9m + 4.

Следовательно, корнями уравнения являются числа x = /₁₈(2n + 1) при n /= 9m + 4.